Để chứng minh đẳng thức \(\sqrt{2(\sqrt{x^2 + y^2} - x)(\sqrt{x^2 + y^2} - y)} = x + y - \sqrt{x^2 + y^2}\) với \(x, y\) là các số thực dương, ta sẽ bắt đầu bằng cách đặt \(a = \sqrt{x^2 + y^2}\). Khi đó, ta có:

\[
a = \sqrt{x^2 + y^2}
\]

Đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\[
\sqrt{2(a - x)(a - y)} = x + y - a
\]

Bây giờ, ta sẽ bình phương cả hai vế của đẳng thức để loại bỏ căn bậc hai:

\[
2(a - x)(a - y) = (x + y - a)^2
\]

Ta sẽ khai triển vế phải của đẳng thức:

\[
(x + y - a)^2 = x^2 + y^2 + a^2 + 2xy - 2ax - 2ay
\]

Vì \(a = \sqrt{x^2 + y^2}\), ta có \(a^2 = x^2 + y^2\). Thay \(a^2\) vào biểu thức trên, ta được:

\[
(x + y - a)^2 = x^2 + y^2 + x^2 + y^2 + 2xy - 2ax - 2ay = 2x^2 + 2y^2 + 2xy - 2ax - 2ay
\]

Bây giờ, ta khai triển vế trái của đẳng thức:

\[
2(a - x)(a - y) = 2(a^2 - ay - ax + xy)
\]

Thay \(a^2 = x^2 + y^2\) vào, ta được:

\[
2(a - x)(a - y) = 2(x^2 + y^2 - ay - ax + xy)
\]

So sánh hai vế của đẳng thức, ta có:

\[
2(x^2 + y^2 - ay - ax + xy) = 2x^2 + 2y^2 + 2xy - 2ax - 2ay
\]

Hai vế này bằng nhau, do đó đẳng thức ban đầu đã được chứng minh:

\[
\sqrt{2(\sqrt{x^2 + y^2} - x)(\sqrt{x^2 + y^2} - y)} = x + y - \sqrt{x^2 + y^2}
\]

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức cần chứng minh.