Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn giải các bài toán này.

### Bài 1: Tính số đo các góc còn lại của tứ giác ABCD

#### a) Góc A = 100 độ; góc B = 60 độ; góc C - góc D = 40 độ

Trong một tứ giác, tổng các góc bằng 360 độ. Do đó, ta có phương trình:
\[ \text{góc A} + \text{góc B} + \text{góc C} + \text{góc D} = 360 \]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[ 100 + 60 + \text{góc C} + \text{góc D} = 360 \]
\[ 160 + \text{góc C} + \text{góc D} = 360 \]
\[ \text{góc C} + \text{góc D} = 200 \]

Ta cũng biết:
\[ \text{góc C} - \text{góc D} = 40 \]

Giải hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
\text{góc C} + \text{góc D} = 200 \\
\text{góc C} - \text{góc D} = 40
\end{cases} \]

Cộng hai phương trình:
\[ 2 \text{góc C} = 240 \]
\[ \text{góc C} = 120 \]

Thay \(\text{góc C} = 120\) vào phương trình \(\text{góc C} + \text{góc D} = 200\):
\[ 120 + \text{góc D} = 200 \]
\[ \text{góc D} = 80 \]

Vậy các góc còn lại là:
\[ \text{góc C} = 120 \]
\[ \text{góc D} = 80 \]

#### b) Góc C = 100 độ; góc B = 60 độ; góc A = 3D

Trong một tứ giác, tổng các góc bằng 360 độ. Do đó, ta có phương trình:
\[ \text{góc A} + \text{góc B} + \text{góc C} + \text{góc D} = 360 \]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[ \text{góc A} + 60 + 100 + \text{góc D} = 360 \]
\[ \text{góc A} + \text{góc D} = 200 \]

Ta cũng biết:
\[ \text{góc A} = 3 \text{góc D} \]

Thay \(\text{góc A} = 3 \text{góc D}\) vào phương trình \(\text{góc A} + \text{góc D} = 200\):
\[ 3 \text{góc D} + \text{góc D} = 200 \]
\[ 4 \text{góc D} = 200 \]
\[ \text{góc D} = 50 \]

Thay \(\text{góc D} = 50\) vào phương trình \(\text{góc A} = 3 \text{góc D}\):
\[ \text{góc A} = 3 \times 50 = 150 \]

Vậy các góc còn lại là:
\[ \text{góc A} = 150 \]
\[ \text{góc D} = 50 \]

### Bài 2: Chứng minh rằng: trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi và nhỏ hơn chu vi tứ giác.

Giả sử tứ giác ABCD có các cạnh AB, BC, CD, DA và hai đường chéo AC và BD. Gọi \(P\) là chu vi của tứ giác:
\[ P = AB + BC + CD + DA \]

Ta cần chứng minh:
\[ \frac{P}{2} < AC + BD < P \]

#### Chứng minh:

1. **Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi:**

Sử dụng bất đẳng thức tam giác cho các tam giác tạo bởi các đường chéo:
\[ AC < AB + BC \]
\[ AC < AD + DC \]
\[ BD < AB + AD \]
\[ BD < BC + DC \]

Cộng tất cả các bất đẳng thức trên:
\[ AC + AC + BD + BD < (AB + BC) + (AD + DC) + (AB + AD) + (BC + DC) \]
\[ 2AC + 2BD < 2(AB + BC + CD + DA) \]
\[ AC + BD < AB + BC + CD + DA \]
\[ AC + BD < P \]

2. **Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi:**

Sử dụng bất đẳng thức tam giác cho các tam giác tạo bởi các đường chéo:
\[ AC + BD > AB + CD \]
\[ AC + BD > AD + BC \]

Cộng hai bất đẳng thức trên:
\[ 2(AC + BD) > (AB + CD) + (AD + BC) \]
\[ 2(AC + BD) > 2(AB + BC + CD + DA) / 2 \]
\[ AC + BD > \frac{P}{2} \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ \frac{P}{2} < AC + BD < P \]

Hy vọng bạn đã hiểu rõ các bước giải bài toán. Chúc bạn học tốt!