Để chứng minh góc \( \angle AMN = \angle INC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và trung điểm. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Xác định các trung điểm:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AM = MB \).
- \( N \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( AN = NC \).
- \( I \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BI = IC \).

2. **Sử dụng tính chất đường trung bình:**
- Đường thẳng \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \), do đó \( MN \parallel BC \) và \( MN = \frac{1}{2} BC \).

3. **Sử dụng tính chất song song:**
- Vì \( MN \parallel BC \), nên góc \( \angle AMN \) bằng góc \( \angle ABC \) (góc so le trong).

4. **Xét tam giác \( BIC \):**
- Vì \( I \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BI = IC \).
- Do đó, tam giác \( BIC \) là tam giác cân tại \( I \).

5. **Sử dụng tính chất tam giác cân:**
- Trong tam giác cân \( BIC \), góc \( \angle BIC \) bằng góc \( \angle IBC \).

6. **Sử dụng tính chất góc đối đỉnh:**
- Góc \( \angle IBC \) bằng góc \( \angle ABC \) (vì \( I \) là trung điểm của \( BC \)).

7. **Kết luận:**
- Từ các bước trên, ta có \( \angle AMN = \angle ABC \) và \( \angle INC = \angle IBC \).
- Vì \( \angle ABC = \angle IBC \), nên \( \angle AMN = \angle INC \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( \angle AMN = \angle INC \).