Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng bước một cách chi tiết.

**a. Tính tỉ số \( k = \frac{AP}{PC} \)**

1. **Xác định các yếu tố cơ bản của tam giác ABC:**
- Tam giác ABC vuông tại A, có góc \( C = 15^\circ \).
- Trung tuyến AM chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau.

2. **Đường trung trực của BC:**
- Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC.

3. **Xác định vị trí của N và P:**
- Đường trung trực của BC cắt AB tại N và cắt AC tại P.

4. **Tính tỉ số \( \frac{AP}{PC} \):**
- Do đường trung trực của BC cắt AC tại P, nên P là điểm đối xứng của A qua đường trung trực của BC. Điều này có nghĩa là \( AP = PC \).

Vậy tỉ số \( k = \frac{AP}{PC} = 1 \).

**b. So sánh MA và MI**

1. **Xác định vị trí của I:**
- I là giao điểm của BP và NC.

2. **Tính chất của các đường trung trực và trung tuyến:**
- Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC.
- Trung tuyến AM chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông tại A có cạnh BC chung.

3. **Tính chất của điểm I:**
- Do P là điểm đối xứng của A qua đường trung trực của BC, nên tam giác BPI và tam giác CNI là hai tam giác cân tại I.
- Điểm I nằm trên đường trung trực của BC, do đó I cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối từ B đến C qua P và N.

4. **So sánh MA và MI:**
- Vì M là trung điểm của BC và I là trung điểm của đoạn thẳng nối từ B đến C qua P và N, nên MA = MI.

Vậy, \( MA = MI \).