Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \). Kẻ \( HE \) và \( HF \) lần lượt vuông góc với \( AB \) và \( AC \).

**a) Chứng minh \( \frac{EB}{FC} = \left( \frac{AB}{AC} \right)^2 \).**

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) nên \( HE \parallel AC \).
- \( HF \perp AC \) nên \( HF \parallel AB \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} = 1 \]

Xét tam giác \( AHE \) và \( AHF \):
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).

Do đó, \( \triangle AHE \sim \triangle AHF \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{HE}{HF} = \frac{AE}{AF} \]

Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AH \perp BC \).

Do đó, \( \triangle AHB \sim \triangle AHC \) (góc góc).

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AH} =