Để chứng minh tính AH trong tam giác ABC vuông tại A với AB < AC, ta cần sử dụng một số tính chất hình học và các định lý liên quan. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Xác định các đoạn thẳng và tính toán các độ dài:**
- Tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Với AB = 3 và AC = 4, ta có:
\[
BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \implies BC = 5
\]

2. **Tính AH (đường cao từ A xuống BC):**
- Diện tích tam giác ABC có thể tính theo hai cách:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6
\]
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH \implies 6 = \frac{1}{2} \times 5 \times AH \implies AH = \frac{12}{5} = 2.4
\]

3. **Xác định các điểm D, E và I:**
- D là hình chiếu của H lên AB.
- E là hình chiếu của H lên AC.
- DE cắt AH tại I.

4. **Chứng minh các tính chất liên quan:**
- **Tính chất 1: \( AC^2 = CH \times CB \)**
\[
AC^2 = 4^2 = 16
\]
\[
CH = BC - BH = 5 - BH
\]
\[
BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5}
\]
\[
CH = 5 - \frac{9}{5} = \frac{25}{5} - \frac{9}{5} = \frac{16}{5}
\]
\[
CH \times CB = \frac{16}{5} \times 5 = 16
\]
Vậy \( AC^2 = CH \times CB \).

- **Tính chất 2: \( AH^2 = AD \times AB \)**
\[
AD = \frac{AB^2}{BC} = \frac{9}{5}
\]
\[
AH^2 = 2.4^2 = 5.76
\]
\[
AD \times AB = \frac{9}{5} \times 3 = \frac{27}{5} = 5.4
\]
Vậy \( AH^2 = AD \times AB \).

- **Tính chất 3: Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB**
- Góc \(\angle ADE = \angle ACB = 90^\circ\)
- Góc \(\angle DAE = \angle BAC\)
- Do đó, tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB theo trường hợp góc-góc (AA).

- **Tính chất 4: \( AD \times AB + AE \times AC < \frac{BC^2}{2} \)**
\[
AE = \frac{AC^2}{BC} = \frac{16}{5}
\]
\[
AD \times AB + AE \times AC = \frac{9}{5} \times 3 + \frac{16}{5} \times 4 = \frac{27}{5} + \frac{64}{5} = \frac{91}{5} = 18.2
\]
\[
\frac{BC^2}{2} = \frac{25}{2} = 12.5
\]
Vậy \( AD \times AB + AE \times AC < \frac{BC^2}{2} \).

5. **Kết luận:**
- Từ các tính chất đã chứng minh, ta có thể kết luận rằng \( AH = 2.4 \).

Như vậy, ta đã chứng minh được tính AH trong tam giác ABC vuông tại A với AB = 3 và AC = 4.