Để xác định các giá trị của tham số \( m \) sao cho hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x + y = 1 \\
mx + y = 2
\end{cases} \]
có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm, ta cần xem xét định thức của hệ phương trình và các điều kiện tương ứng.

Hệ phương trình có dạng:
\[ \begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases} \]
với \( a_1 = 1 \), \( b_1 = 1 \), \( c_1 = 1 \), \( a_2 = m \), \( b_2 = 1 \), \( c_2 = 2 \).

Ta xét định thức của hệ phương trình:
\[ \Delta = \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 1 \\
m & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot m = 1 - m. \]

a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\Delta \neq 0\):
\[ 1 - m \neq 0 \]
\[ m \neq 1. \]

b) Hệ phương trình vô nghiệm khi \(\Delta = 0\) và \(\Delta_1 \neq 0\) hoặc \(\Delta_2 \neq 0\):
\[ 1 - m = 0 \]
\[ m = 1. \]

Khi \( m = 1 \), hệ phương trình trở thành:
\[ \begin{cases}
x + y = 1 \\
x + y = 2
\end{cases} \]
Điều này là vô lý vì \( 1 \neq 2 \). Do đó, hệ phương trình vô nghiệm khi \( m = 1 \).

c) Hệ phương trình có vô số nghiệm khi \(\Delta = 0\) và \(\Delta_1 = 0\) và \(\Delta_2 = 0\):
\[ 1 - m = 0 \]
\[ m = 1. \]

Tuy nhiên, như đã phân tích ở phần b), khi \( m = 1 \), hệ phương trình là vô lý và không thể có vô số nghiệm.

Tóm lại:
a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \( m \neq 1 \).
b) Hệ phương trình vô nghiệm khi \( m = 1 \).
c) Hệ phương trình không có trường hợp nào có vô số nghiệm.