Để giải phương trình \( (13x + 1)\sqrt{2x - 1} = (7x - 1)\sqrt{8x + 1} - 4 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xét miền xác định của phương trình:**
- Để phương trình có nghĩa, các biểu thức dưới dấu căn phải không âm:
\[
2x - 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad 8x + 1 \geq 0
\]
- Giải các bất phương trình này:
\[
2x - 1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}
\]
\[
8x + 1 \geq 0 \implies x \geq -\frac{1}{8}
\]
- Kết hợp hai điều kiện trên, ta có:
\[
x \geq \frac{1}{2}
\]

2. **Biến đổi phương trình:**
- Đặt \( t = \sqrt{2x - 1} \), khi đó \( t \geq 0 \) và \( 2x - 1 = t^2 \implies x = \frac{t^2 + 1}{2} \).
- Thay \( x = \frac{t^2 + 1}{2} \) vào phương trình ban đầu:
\[
(13 \cdot \frac{t^2 + 1}{2} + 1)t = (7 \cdot \frac{t^2 + 1}{2} - 1)\sqrt{8 \cdot \frac{t^2 + 1}{2} + 1} - 4
\]
- Đơn giản hóa biểu thức:
\[
\left( \frac{13t^2 + 13 + 2}{2} \right)t = \left( \frac{7t^2 + 7 - 2}{2} \right)\sqrt{4t^2 + 5} - 4
\]
\[
\left( \frac{13t^2 + 15}{2} \right)t = \left( \frac{7t^2 + 5}{2} \right)\sqrt{4t^2 + 5} - 4
\]
\[
\frac{(13t^2 + 15)t}{2} = \frac{(7t^2 + 5)\sqrt{4t^2 + 5}}{2} - 4
\]
\[
(13t^2 + 15)t = (7t^2 + 5)\sqrt{4t^2 + 5} - 8
\]

3. **Thử nghiệm các giá trị của \( t \):**
- Thử \( t = 0 \):
\[
(13 \cdot 0^2 + 15) \cdot 0 = (7 \cdot 0^2 + 5) \sqrt{4 \cdot 0^2 + 5} - 8
\]
\[
0 = 5 \sqrt{5} - 8
\]
\[
0 \neq 5 \sqrt{5} - 8
\]
- Thử \( t = 1 \):
\[
(13 \cdot 1^2 + 15) \cdot 1 = (7 \cdot 1^2 + 5) \sqrt{4 \cdot 1^2 + 5} - 8
\]
\[
(13 + 15) \cdot 1 = (7 + 5) \sqrt{4 + 5} - 8
\]
\[
28 = 12 \sqrt{9} - 8
\]
\[
28 = 12 \cdot 3 - 8
\]
\[
28 = 36 - 8
\]
\[
28 = 28
\]
- Vậy \( t = 1 \) là nghiệm của phương trình.

4. **Tìm giá trị của \( x \):**
- Với \( t = 1 \), ta có:
\[
\sqrt{2x - 1} = 1 \implies 2x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \).