Cho hình thang cân ABCD với AB // CD và AB = CD. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh rằng MN là tia phân giác của góc QMN:

- Vì M và N là trung điểm của AB và BC, nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
- Tương tự, vì P và Q là trung điểm của CD và DA, nên PQ là đường trung bình của tam giác CDA.
- Do đó, MN // PQ và MN = PQ.
- Vì AB = CD, nên hình thang ABCD là hình thang cân, do đó góc A = góc D và góc B = góc C.
- Vì M và Q là trung điểm của AB và DA, nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD.
- Tương tự, NP là đường trung bình của tam giác BCD.
- Do đó, MQ = NP và MQ // NP.
- Vì MN // PQ và MQ // NP, nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
- Trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng, do đó MN là tia phân giác của góc QMN.

b) Hình thang cân ABCD phải có thêm điều kiện gì (đối với đường chéo) để góc MNQ = 45 độ:

- Để góc MNQ = 45 độ, hình thang cân ABCD cần có thêm điều kiện rằng đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
- Khi đó, tam giác AMQ và tam giác DNQ là các tam giác vuông cân tại M và N, do đó góc AMQ = góc DNQ = 45 độ.
- Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC và tam giác CDA, nên MN // AC và MN // BD.
- Do đó, góc MNQ = 45 độ.

c) Chứng minh rằng nếu có thêm điều kiện đó thì hình thang cân ABCD sẽ có đường cao bằng đường trung bình của nó:

- Giả sử hình thang cân ABCD có đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
- Gọi h là đường cao của hình thang ABCD và gọi d là độ dài đường trung bình của hình thang.
- Đường trung bình của hình thang cân ABCD là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên, tức là đoạn thẳng MN.
- Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC và tam giác CDA, nên MN = (AB + CD) / 2.
- Do AB = CD, nên MN = AB = CD.
- Vì AC và BD vuông góc với nhau, nên tam giác AMQ và tam giác DNQ là các tam giác vuông cân tại M và N.
- Do đó, h = MQ = NP.
- Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC và tam giác CDA, nên MN = (AB + CD) / 2.
- Do AB = CD, nên MN = AB = CD.
- Vì h = MQ = NP và MN = AB = CD, nên h = MN.
- Do đó, đường cao của hình thang cân ABCD bằng đường trung bình của nó.