Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết \(\cos \angle BAH = \frac{2}{5}\), \(AH = 20\) cm. Ta cần tính các cạnh \(AB\), \(AC\), và \(BC\).

1. **Tính \(AB\) và \(AC\)**:
- Trong tam giác vuông \(ABH\), ta có:
\[
\cos \angle BAH = \frac{AH}{AB}
\]
Do đó:
\[
\frac{2}{5} = \frac{20}{AB} \implies AB = \frac{20 \times 5}{2} = 50 \text{ cm}
\]

- Trong tam giác vuông \(ACH\), ta có:
\[
\sin \angle BAH = \frac{AH}{AC}
\]
Ta biết rằng:
\[
\sin \angle BAH = \sqrt{1 - \cos^2 \angle BAH} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}
\]
Do đó:
\[
\frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{20}{AC} \implies AC = \frac{20 \times 5}{\sqrt{21}} = \frac{100}{\sqrt{21}} \text{ cm}
\]
Để đơn giản hóa, ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{21}\):
\[
AC = \frac{100 \sqrt{21}}{21} \text{ cm}
\]

2. **Tính \(BC\)**:
- Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}
\]
Thay giá trị \(AB\) và \(AC\) vào:
\[
BC = \sqrt{50^2 + \left(\frac{100 \sqrt{21}}{21}\right)^2}
\]
Tính toán cụ thể:
\[
BC = \sqrt{2500 + \frac{10000 \times 21}{441}} = \sqrt{2500 + \frac{210000}{441}} = \sqrt{2500 + 476.19} = \sqrt{2976.19}
\]
Tính giá trị gần đúng:
\[
BC \approx 54.56 \text{ cm}
\]

Tóm lại, các cạnh của tam giác ABC là:
- \(AB = 50\) cm
- \(AC = \frac{100 \sqrt{21}}{21}\) cm
- \(BC \approx 54.56\) cm