Chúng ta có hệ phương trình:

\[ \begin{cases}
X + (m-1) y = 2 \\
(m+1) x - y = m+1
\end{cases} \]

### Câu a: Giải hệ phương trình khi \( m = \frac{1}{2} \)

Thay \( m = \frac{1}{2} \) vào hệ phương trình:

\[ \begin{cases}
x + \left(\frac{1}{2} - 1\right) y = 2 \\
\left(\frac{1}{2} + 1\right) x - y = \frac{1}{2} + 1
\end{cases} \]

Tương đương với:

\[ \begin{cases}
x - \frac{1}{2} y = 2 \\
\frac{3}{2} x - y = \frac{3}{2}
\end{cases} \]

Nhân phương trình thứ nhất với 2 để loại bỏ phân số:

\[ \begin{cases}
2x - y = 4 \\
\frac{3}{2} x - y = \frac{3}{2}
\end{cases} \]

Nhân phương trình thứ hai với 2 để loại bỏ phân số:

\[ \begin{cases}
2x - y = 4 \\
3x - 2y = 3
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:

\[ 3x - 2y - (2x - y) = 3 - 4 \]

\[ x - y = -1 \]

Từ đó, ta có:

\[ x - y = -1 \]

Giải phương trình này để tìm \( y \):

\[ y = x + 1 \]

Thay vào phương trình đầu tiên:

\[ 2x - (x + 1) = 4 \]

\[ 2x - x - 1 = 4 \]

\[ x - 1 = 4 \]

\[ x = 5 \]

Thay \( x = 5 \) vào \( y = x + 1 \):

\[ y = 5 + 1 = 6 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = \frac{1}{2} \) là \( (x, y) = (5, 6) \).

### Câu b: Xác định giá trị của \( m \) để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện \( x > y \)

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho \( x > y \), ta giải hệ phương trình tổng quát:

\[ \begin{cases}
x + (m-1) y = 2 \\
(m+1) x - y = m+1
\end{cases} \]

Giải phương trình thứ hai để tìm \( y \):

\[ y = (m+1)x - (m+1) \]

Thay vào phương trình thứ nhất:

\[ x + (m-1) [(m+1)x - (m+1)] = 2 \]

\[ x + (m-1)(m+1)x - (m-1)(m+1) = 2 \]

\[ x + (m^2 - 1)x - (m^2 - 1) = 2 \]

\[ (1 + m^2 - 1)x - (m^2 - 1) = 2 \]

\[ m^2 x - m^2 + 1 = 2 \]

\[ m^2 x = m^2 + 3 \]

\[ x = \frac{m^2 + 3}{m^2} \]

\[ x = 1 + \frac{3}{m^2} \]

Thay \( x \) vào \( y \):

\[ y = (m+1)\left(1 + \frac{3}{m^2}\right) - (m+1) \]

\[ y = (m+1) + \frac{3(m+1)}{m^2} - (m+1) \]

\[ y = \frac{3(m+1)}{m^2} \]

Điều kiện \( x > y \):

\[ 1 + \frac{3}{m^2} > \frac{3(m+1)}{m^2} \]

\[ 1 + \frac{3}{m^2} > \frac{3m + 3}{m^2} \]

\[ 1 + \frac{3}{m^2} > \frac{3m}{m^2} + \frac{3}{m^2} \]

\[ 1 > \frac{3m}{m^2} \]

\[ 1 > \frac{3}{m} \]

\[ m > 3 \]

Vậy giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện \( x > y \) là \( m > 3 \).