Để tính nhanh biểu thức \( N = (100^2 + 98^2 + \ldots + 4^2 + 2^2) - (99^2 + 97^2 + \ldots + 3^2 + 1^2) \), ta có thể nhóm các cặp số hạng tương ứng từ hai dãy số.

Nhận thấy rằng mỗi số hạng trong dãy thứ nhất là số chẵn, còn mỗi số hạng trong dãy thứ hai là số lẻ. Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[ N = \sum_{k=1}^{50} (2k)^2 - \sum_{k=1}^{50} (2k-1)^2 \]

Ta sẽ tính riêng từng tổng:

1. Tổng các bình phương của các số chẵn từ 2 đến 100:
\[ \sum_{k=1}^{50} (2k)^2 = \sum_{k=1}^{50} 4k^2 = 4 \sum_{k=1}^{50} k^2 \]

2. Tổng các bình phương của các số lẻ từ 1 đến 99:
\[ \sum_{k=1}^{50} (2k-1)^2 \]

Sử dụng công thức tổng các bình phương:
\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

Áp dụng công thức này cho \( n = 50 \):
\[ \sum_{k=1}^{50} k^2 = \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6} = 42925 \]

Do đó:
\[ 4 \sum_{k=1}^{50} k^2 = 4 \cdot 42925 = 171700 \]

Tiếp theo, ta tính tổng các bình phương của các số lẻ:
\[ \sum_{k=1}^{50} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{50} (4k^2 - 4k + 1) = 4 \sum_{k=1}^{50} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{50} k + \sum_{k=1}^{50} 1 \]

Ta đã biết:
\[ \sum_{k=1}^{50} k^2 = 42925 \]
\[ \sum_{k=1}^{50} k = \frac{50 \cdot 51}{2} = 1275 \]
\[ \sum_{k=1}^{50} 1 = 50 \]

Do đó:
\[ \sum_{k=1}^{50} (2k-1)^2 = 4 \cdot 42925 - 4 \cdot 1275 + 50 = 171700 - 5100 + 50 = 166650 \]

Cuối cùng, ta tính \( N \):
\[ N = 171700 - 166650 = 5050 \]

Vậy, giá trị của \( N \) là \( 5050 \).