Để thực hiện phép tính \( 12 : \left\{ 420 : \left(500 - \left(125 + 25 \times 7\right)\right)\right\} \), chúng ta cần tuân theo thứ tự thực hiện các phép toán trong ngoặc trước, sau đó là phép nhân và chia, cuối cùng là phép cộng và trừ.

1. Tính giá trị trong ngoặc tròn trước:
\[
125 + 25 \times 7
\]
Thực hiện phép nhân trước:
\[
25 \times 7 = 175
\]
Sau đó thực hiện phép cộng:
\[
125 + 175 = 300
\]

2. Thay giá trị vừa tính được vào biểu thức ban đầu:
\[
12 : \left\{ 420 : \left(500 - 300\right)\right\}
\]

3. Tiếp tục tính giá trị trong ngoặc tròn:
\[
500 - 300 = 200
\]

4. Thay giá trị vừa tính được vào biểu thức:
\[
12 : \left\{ 420 : 200 \right\}
\]

5. Thực hiện phép chia trong ngoặc nhọn:
\[
420 : 200 = 2.1
\]

6. Cuối cùng, thực hiện phép chia còn lại:
\[
12 : 2.1 = \frac{12}{2.1} = \frac{120}{21} = \frac{40}{7} \approx 5.714
\]

Vậy kết quả của phép tính là \(\frac{40}{7}\) hoặc xấp xỉ 5.714.