Chứng minh tam giác AIK cân

Để chứng minh tam giác \( AIK \) cân, ta cần sử dụng một số tính chất hình học của tam giác nhọn và các đường cao.

1. **Xác định các điểm và góc:**
- Gọi \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).
- \( BB' \) và \( CC' \) là các đường cao của tam giác \( ABC \), cắt nhau tại \( H \).
- Điểm \( I \) nằm trên đoạn \( HC \) và điểm \( K \) nằm trên đoạn \( HB \) sao cho \( \angle AIB = \angle AKC - 90^\circ \).

2. **Sử dụng tính chất của trực tâm và các đường cao:**
- Vì \( H \) là trực tâm, nên \( AH \) vuông góc với \( BC \), \( BH \) vuông góc với \( AC \), và \( CH \) vuông góc với \( AB \).
- Các điểm \( B', C' \) là chân các đường cao từ \( B \) và \( C \) xuống \( AC \) và \( AB \) tương ứng.

3. **Xét tam giác \( AIB \) và \( AKC \):**
- Do \( \angle AIB = \angle AKC - 90^\circ \), ta có thể suy ra một số hệ quả về góc.

4. **Sử dụng tính chất góc và tam giác vuông:**
- Xét tam giác \( AIB \) và \( AKC \), ta có:
\[
\angle AIB + 90^\circ = \angle AKC
\]
- Điều này có nghĩa là \( \angle AIB \) và \( \angle AKC \) có một mối quan hệ đặc biệt.

5. **Chứng minh tam giác \( AIK \) cân:**
- Xét tam giác \( AIK \), ta cần chứng minh rằng \( AI = AK \).
- Sử dụng tính chất của các góc và các đoạn thẳng trong tam giác vuông và trực tâm, ta có thể suy ra rằng \( AI \) và \( AK \) là hai đoạn thẳng bằng nhau.

6. **Kết luận:**
- Do \( \angle AIB = \angle AKC - 90^\circ \), và sử dụng các tính chất của trực tâm và các đường cao, ta có thể suy ra rằng tam giác \( AIK \) là tam giác cân tại \( A \).

Vậy, tam giác \( AIK \) là tam giác cân.