Cho a = 2+22+222+2222+..+222...222(có 1015 chữ số 2 trong số 222.222). Tìm chữ số hàng chục của kết quả của phép tính trên

Để tìm chữ số hàng chục của tổng \( a = 2 + 22 + 222 + 2222 + \ldots + \underbrace{222\ldots222}_{1015 \text{ chữ số 2}} \), ta cần phân tích tổng này một cách chi tiết hơn.

Trước hết, ta nhận thấy rằng mỗi số trong dãy có thể được biểu diễn dưới dạng:
\[ 2, 22, 222, 2222, \ldots, \underbrace{222\ldots222}_{1015 \text{ chữ số 2}} \]

Mỗi số trong dãy này có thể được viết dưới dạng:
\[ 2 \times \frac{10^k - 1}{9} \]
với \( k \) là số chữ số 2 trong số đó.

Do đó, tổng \( a \) có thể được viết lại như sau:
\[ a = \sum_{k=1}^{1015} 2 \times \frac{10^k - 1}{9} \]

Chúng ta có thể tách tổng này thành hai phần:
\[ a = \frac{2}{9} \sum_{k=1}^{1015} (10^k - 1) \]
\[ a = \frac{2}{9} \left( \sum_{k=1}^{1015} 10^k - \sum_{k=1}^{1015} 1 \right) \]

Tổng của các lũy thừa của 10 từ \( 10^1 \) đến \( 10^{1015} \) là một cấp số nhân:
\[ \sum_{k=1}^{1015} 10^k = 10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^{1015} = 10 \left( \frac{10^{1015} - 1}{10 - 1} \right) = \frac{10^{1016} - 10}{9} \]

Tổng của 1015 số 1 là:
\[ \sum_{k=1}^{1015} 1 = 1015 \]

Do đó:
\[ a = \frac{2}{9} \left( \frac{10^{1016} - 10}{9} - 1015 \right) \]
\[ a = \frac{2}{9} \left( \frac{10^{1016} - 10 - 91435}{9} \right) \]
\[ a = \frac{2}{81} (10^{1016} - 91445) \]

Để tìm chữ số hàng chục của \( a \), chúng ta chỉ cần quan tâm đến hai chữ số cuối của \( 10^{1016} \) và \( 91445 \).

Chúng ta biết rằng \( 10^{1016} \) có dạng \( 1 \) theo sau là 1016 chữ số 0, do đó hai chữ số cuối của \( 10^{1016} \) là \( 00 \).

Do đó, chúng ta cần tính:
\[ 10^{1016} - 91445 \]
Hai chữ số cuối của \( 91445 \) là \( 45 \), do đó:
\[ 00 - 45 = -45 \]

Khi chuyển đổi sang dạng dương, ta có:
\[ -45 \equiv 55 \ (\text{mod}\ 100) \]

Do đó, hai chữ số cuối của \( 10^{1016} - 91445 \) là \( 55 \). Khi nhân với \( \frac{2}{81} \), ta chỉ cần quan tâm đến hai chữ số cuối của \( 55 \times 2 \):
\[ 55 \times 2 = 110 \]

Vậy, chữ số hàng chục của kết quả là \( 1 \).