Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x^2 + y^2 + z^2 + yz = 19 - xz

Để tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 + yz = 19 - xz\), ta cần phân tích và thử các giá trị khác nhau của \(x\), \(y\), và \(z\).

Đầu tiên, ta có thể viết lại phương trình như sau:
\[x^2 + y^2 + z^2 + yz + xz = 19.\]

Bây giờ, ta sẽ thử các giá trị nguyên dương cho \(x\), \(y\), và \(z\) để xem liệu có nghiệm nào thỏa mãn phương trình hay không.

### Bước 1: Thử các giá trị nhỏ cho \(x\)

#### Trường hợp \(x = 1\):
\[1^2 + y^2 + z^2 + yz + 1z = 19 \implies 1 + y^2 + z^2 + yz + z = 19 \implies y^2 + z^2 + yz + z = 18.\]

Ta có phương trình:
\[y^2 + z^2 + z(y + 1) = 18.\]

Thử các giá trị nhỏ cho \(y\):

- \(y = 1\):
\[1^2 + z^2 + z(1 + 1) = 18 \implies 1 + z^2 + 2z = 18 \implies z^2 + 2z - 17 = 0.\]
Giải phương trình bậc hai:
\[z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 68}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{-2 \pm 6\sqrt{2}}{2}.\]
Không có nghiệm nguyên.

- \(y = 2\):
\[2^2 + z^2 + z(2 + 1) = 18 \implies 4 + z^2 + 3z = 18 \implies z^2 + 3z - 14 = 0.\]
Giải phương trình bậc hai:
\[z = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{2}.\]
Không có nghiệm nguyên.

- \(y = 3\):
\[3^2 + z^2 + z(3 + 1) = 18 \implies 9 + z^2 + 4z = 18 \implies z^2 + 4z - 9 = 0.\]
Giải phương trình bậc hai:
\[z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 36}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{13}}{2}.\]
Không có nghiệm nguyên.

#### Trường hợp \(x = 2\):
\[2^2 + y^2 + z^2 + yz + 2z = 19 \implies 4 + y^2 + z^2 + yz + 2z = 19 \implies y^2 + z^2 + yz + 2z = 15.\]

Ta có phương trình:
\[y^2 + z^2 + z(y + 2) = 15.\]

Thử các giá trị nhỏ cho \(y\):

- \(y = 1\):
\[1^2 + z^2 + z(1 + 2) = 15 \implies 1 + z^2 + 3z = 15 \implies z^2 + 3z - 14 = 0.\]
Giải phương trình bậc hai:
\[z = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{2}.\]
Không có nghiệm nguyên.

- \(y = 2\):
\[2^2 + z^2 + z(2 + 2) = 15 \implies 4 + z^2 + 4z = 15 \implies z^2 + 4z - 11 = 0.\]
Giải phương trình bậc hai:
\[z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 44}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{15}}{2}.\]
Không có nghiệm nguyên.

- \(y = 3\):
\[3^2 + z^2 + z(3 + 2) = 15 \implies 9 + z^2 + 5z = 15 \implies z^2 + 5z - 6 = 0.\]
Giải phương trình bậc hai:
\[z = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}.\]
\[z = 1 \quad \text{hoặc} \quad z = -6.\]
Chỉ có \(z = 1\) là nghiệm nguyên dương.

Vậy, với \(x = 2\), \(y = 3\), và \(z = 1\), ta có một nghiệm nguyên dương của phương trình.

### Kết luận:
Nghiệm nguyên dương của phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 + yz = 19 - xz\) là \((x, y, z) = (2, 3, 1)\).