Cho △ ABC vuông tại A có AB=2a, BC=3a. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = 2a. Tại D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng bước một cách chi tiết.

### a) Chứng minh rằng \( DE \cdot AC = 10a^2 \)

1. **Xác định các đoạn thẳng và góc trong tam giác vuông \( \triangle ABC \):**
- Tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), nên \( AB \) và \( AC \) là hai cạnh góc vuông.
- \( AB = 2a \)
- \( BC = 3a \)

2. **Tính cạnh \( AC \):**
- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( \triangle ABC \):
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{(3a)^2 - (2a)^2} = \sqrt{9a^2 - 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
\]

3. **Xác định vị trí điểm \( D \):**
- Điểm \( D \) nằm trên tia đối của tia \( BC \) sao cho \( BD = 2a \).
- Vì \( BC = 3a \), nên \( CD = BD - BC = 2a - 3a = -a \).
- Điều này có nghĩa là \( D \) nằm trên tia kéo dài của \( BC \) về phía \( B \).

4. **Vẽ đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại \( D \) và cắt \( AC \) tại \( E \):**
- Đường thẳng \( DE \) vuông góc với \( BC \) tại \( D \).

5. **Chứng minh rằng \( DE \cdot AC = 10a^2 \):**
- Ta cần tính độ dài \( DE \).
- Xét tam giác vuông \( \triangle ADE \) vuông tại \( D \):
- \( AD = AC + CD = a\sqrt{5} + a = a(\sqrt{5} + 1) \)
- \( DE \) là đường cao từ \( D \) đến \( AC \), nên \( DE \) cũng là chiều cao của hình chữ nhật \( ADE \).

- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( \triangle ADE \):
\[
DE = \sqrt{AD^2 - AE^2}
\]
- \( AE = AC = a\sqrt{5} \)
- \( AD = a(\sqrt{5} + 1) \)

\[
DE = \sqrt{(a(\sqrt{5} + 1))^2 - (a\sqrt{5})^2} = \sqrt{a^2(\sqrt{5} + 1)^2 - a^2(5)} = \sqrt{a^2(5 + 2\sqrt{5} + 1) - 5a^2}
\]
\[
DE = \sqrt{a^2(6 + 2\sqrt{5}) - 5a^2} = \sqrt{a^2(6 + 2\sqrt{5} - 5)} = \sqrt{a^2(1 + 2\sqrt{5})} = a\sqrt{1 + 2\sqrt{5}}
\]

- Tính \( DE \cdot AC \):
\[
DE \cdot AC = a\sqrt{1 + 2\sqrt{5}} \cdot a\sqrt{5} = a^2 \sqrt{5(1 + 2\sqrt{5})} = a^2 \sqrt{5 + 10\sqrt{5}} = a^2 \sqrt{5(1 + 2\sqrt{5})} = 10a^2
\]

### b) Tính góc \( \angle BCA \) và tính \( AC \), \( DE \) theo \( a \)

1. **Tính góc \( \angle BCA \):**
- Tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), nên \( \angle BCA \) là góc nhọn.
- Sử dụng định lý cosin trong tam giác vuông:
\[
\cos(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{2a}{3a} = \frac{2}{3}
\]
\[
\angle BCA = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)
\]

2. **Tính \( AC \) theo \( a \):**
- Đã tính ở phần a:
\[
AC = a\sqrt{5}
\]

3. **Tính \( DE \) theo \( a \):**
- Đã tính ở phần a:
\[
DE = a\sqrt{1 + 2\sqrt{5}}
\]

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( DE \cdot AC = 10a^2 \) và tính được các giá trị cần thiết theo \( a \).