Cho tam giác ABC cân tại A với đáy BC = 2a và cạnh bên AB = AC = b (b > a).

a. Diện tích tam giác ABC:

Để tính diện tích tam giác ABC, ta cần chiều cao từ đỉnh A xuống đáy BC. Gọi H là chân đường cao từ A xuống BC. Vì tam giác ABC cân tại A, nên H là trung điểm của BC. Do đó, BH = HC = a.

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH, ta có:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ b^2 = h^2 + a^2 \]
\[ h^2 = b^2 - a^2 \]
\[ h = \sqrt{b^2 - a^2} \]

Diện tích tam giác ABC là:
\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times h \]
\[ S = \frac{1}{2} \times 2a \times \sqrt{b^2 - a^2} \]
\[ S = a \sqrt{b^2 - a^2} \]

b. Dựng BK vuông góc AC. Tính tỷ số AK/AC:

Gọi K là chân đường vuông góc từ B xuống AC. Ta cần tính tỷ số \(\frac{AK}{AC}\).

Trong tam giác vuông BKC, ta có:
\[ BK \perp AC \]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông BKC, ta có:
\[ BK^2 + KC^2 = BC^2 \]
\[ BK^2 + (a)^2 = b^2 \]
\[ BK^2 = b^2 - a^2 \]
\[ BK = \sqrt{b^2 - a^2} \]

Trong tam giác vuông AKC, ta có:
\[ AK^2 + KC^2 = AC^2 \]
\[ AK^2 + a^2 = b^2 \]
\[ AK^2 = b^2 - a^2 \]
\[ AK = \sqrt{b^2 - a^2} \]

Tỷ số \(\frac{AK}{AC}\) là:
\[ \frac{AK}{AC} = \frac{\sqrt{b^2 - a^2}}{b} \]

Vậy tỷ số \(\frac{AK}{AC}\) là:
\[ \frac{AK}{AC} = \frac{\sqrt{b^2 - a^2}}{b} \]