Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b và c.

### Phần a:
**Chứng minh: Tam giác ABC đồng dạng tam giác IHB**

Ta có tam giác ABC vuông tại A, do đó:
- \(\angle BAC = 90^\circ\)

Trong tam giác IHB, I là hình chiếu của H lên CB, do đó:
- \(\angle IHB = 90^\circ\)

Ta cần chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác IHB. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn đồng dạng góc-góc (AA).

Xét hai góc:
- \(\angle BAC = \angle IHB = 90^\circ\)
- \(\angle ABC\) là góc chung của tam giác ABC và tam giác IHB.

Vì vậy, tam giác ABC đồng dạng với tam giác IHB theo tiêu chuẩn AA.

### Phần b:
**Cho AC = 3 cm, BC = 5 cm, AH = 1 cm. Gọi M là trung điểm của HB. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, IB và IM.**

1. **Tính độ dài AB:**

Do tam giác ABC vuông tại A, ta áp dụng định lý Pythagoras:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
\[ AB^2 = 3^2 + 5^2 \]
\[ AB^2 = 9 + 25 \]
\[ AB^2 = 34 \]
\[ AB = \sqrt{34} \]

2. **Tính độ dài IB:**

Do I là hình chiếu của H lên CB, ta có:
\[ IB = \sqrt{HB^2 - HI^2} \]

Trước tiên, ta cần tính HB và HI.

- HB = AB - AH = \(\sqrt{34} - 1\)
- HI = AH = 1 (vì H là hình chiếu của H lên CB)

Do đó:
\[ IB = \sqrt{(\sqrt{34} - 1)^2 - 1^2} \]
\[ IB = \sqrt{34 - 2\sqrt{34} + 1 - 1} \]
\[ IB = \sqrt{34 - 2\sqrt{34}} \]

3. **Tính độ dài IM:**

M là trung điểm của HB, do đó:
\[ HM = MB = \frac{HB}{2} \]

Ta đã biết HB = \(\sqrt{34} - 1\), do đó:
\[ HM = MB = \frac{\sqrt{34} - 1}{2} \]

Vì I là hình chiếu của H lên CB, ta có:
\[ IM = \frac{HI}{2} = \frac{1}{2} \]

### Phần c:
**Gọi K là giao điểm của CH và BD. Chứng minh: \( BH \cdot BA + CH \cdot CK = BC^2 \)**

Để chứng minh điều này, ta sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác BHCK.

Trong tứ giác BHCK, ta có:
\[ BH \cdot CK + CH \cdot BK = BC \cdot HK \]

Do K là giao điểm của CH và BD, ta có:
\[ BK = BA \]

Do đó:
\[ BH \cdot CK + CH \cdot BA = BC \cdot HK \]

Vì HK là đường cao từ H xuống CB, ta có:
\[ HK = HI = 1 \]

Do đó:
\[ BH \cdot CK + CH \cdot BA = BC^2 \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[ BH \cdot BA + CH \cdot CK = BC^2 \]

Kết luận: Bài toán đã được giải quyết hoàn chỉnh.