Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thoi và các định lý hình học.

**Phần a: Chứng minh MD.MN = MA.MC**

1. **Tính chất của hình thoi:**
- Hình thoi ABCD có các cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = DA.
- Góc A = 60°, do đó các góc còn lại của hình thoi là 120° (vì tổng các góc trong một tứ giác là 360°).

2. **Xét tam giác ABD:**
- Vì ABCD là hình thoi nên tam giác ABD là tam giác cân tại A.
- Góc BAD = 60°, do đó góc ABD = góc ADB = (180° - 60°) / 2 = 60°.

3. **Xét tam giác AMC:**
- Đường thẳng đi qua A cắt tia CD tại M và tia CB tại N.
- Ta có MA là đoạn thẳng từ A đến M và MC là đoạn thẳng từ M đến C.

4. **Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác AMC với đường thẳng cắt qua các điểm A, M, N:**
- Định lý Menelaus: Nếu một đường thẳng cắt các cạnh của tam giác tại các điểm khác nhau, thì tích các đoạn thẳng chia các cạnh sẽ bằng 1.
- Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMC với đường thẳng cắt qua các điểm A, M, N:
\[
\frac{MD}{DC} \cdot \frac{CN}{NA} \cdot \frac{AM}{MC} = 1
\]

5. **Sử dụng tính chất của hình thoi:**
- Vì ABCD là hình thoi, nên CD = CB và DC = BC.
- Do đó, \(\frac{MD}{DC} = \frac{MD}{BC}\) và \(\frac{CN}{NA} = \frac{CN}{NA}\).

6. **Chứng minh:**
- Từ định lý Menelaus, ta có:
\[
\frac{MD}{BC} \cdot \frac{CN}{NA} \cdot \frac{AM}{MC} = 1
\]
- Vì BC = CD, nên:
\[
\frac{MD}{CD} \cdot \frac{CN}{NA} \cdot \frac{AM}{MC} = 1
\]
- Do đó:
\[
MD \cdot CN = MA \cdot MC
\]
- Vậy ta đã chứng minh được MD.MN = MA.MC.

**Phần b: Chứng minh ∆MDB ~ ∆DBN**

1. **Xét tam giác MDB và tam giác DBN:**
- Ta cần chứng minh hai tam giác này đồng dạng.

2. **Sử dụng tính chất của hình thoi:**
- Vì ABCD là hình thoi, nên các cạnh bằng nhau và các góc đối bằng nhau.
- Góc DBC = góc DCB = 60°.

3. **Xét các góc trong hai tam giác:**
- Trong tam giác MDB, góc MDB = 60° (vì góc DBC = 60°).
- Trong tam giác DBN, góc DBN = 60° (vì góc DCB = 60°).

4. **Sử dụng định lý đồng dạng:**
- Nếu hai tam giác có một góc bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ, thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Ta có góc MDB = góc DBN = 60°.
- Do đó, hai tam giác MDB và DBN đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

Vậy, ta đã chứng minh được ∆MDB ~ ∆DBN.