Một kim tự tháp ai cập có dạng hình chóp tứ giác đều, các mặt bên là các tam giác đều có cạnh bằng 180 mét, tính diện tích xung quanh và thể tích

Để tính diện tích xung quanh và thể tích của một kim tự tháp Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều với các mặt bên là các tam giác đều có cạnh bằng 180 mét, ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của kim tự tháp là tổng diện tích của 4 mặt tam giác đều.

Diện tích của một tam giác đều cạnh \(a\) là:
\[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Với \(a = 180\) mét, diện tích của một tam giác đều là:
\[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 180^2 \]
\[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 32400 \]
\[ A = 8100\sqrt{3} \, \text{m}^2 \]

Vì kim tự tháp có 4 mặt tam giác đều, diện tích xung quanh là:
\[ A_{\text{xung quanh}} = 4 \times 8100\sqrt{3} \]
\[ A_{\text{xung quanh}} = 32400\sqrt{3} \, \text{m}^2 \]

### 2. Thể tích

Để tính thể tích của kim tự tháp, ta cần biết chiều cao của nó. Trước hết, ta tính chiều cao của một mặt tam giác đều.

Chiều cao \(h_{\text{tam giác}}\) của một tam giác đều cạnh \(a\) là:
\[ h_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]

Với \(a = 180\) mét, chiều cao của tam giác đều là:
\[ h_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 180 \]
\[ h_{\text{tam giác}} = 90\sqrt{3} \, \text{m} \]

Tiếp theo, ta tính chiều cao \(h_{\text{kim tự tháp}}\) của kim tự tháp. Chiều cao này là đoạn thẳng từ đỉnh kim tự tháp vuông góc với mặt đáy. Để tính chiều cao này, ta cần biết chiều cao của tam giác vuông tạo bởi chiều cao của tam giác đều và đường trung trực của mặt đáy.

Đường trung trực của mặt đáy (hình vuông) là:
\[ \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{180\sqrt{2}}{2} = 90\sqrt{2} \, \text{m} \]

Chiều cao của kim tự tháp là:
\[ h_{\text{kim tự tháp}} = \sqrt{(h_{\text{tam giác}})^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} \]
\[ h_{\text{kim tự tháp}} = \sqrt{(90\sqrt{3})^2 - (90\sqrt{2})^2} \]
\[ h_{\text{kim tự tháp}} = \sqrt{24300 - 16200} \]
\[ h_{\text{kim tự tháp}} = \sqrt{8100} \]
\[ h_{\text{kim tự tháp}} = 90 \, \text{m} \]

Cuối cùng, thể tích \(V\) của kim tự tháp là:
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} \]

Diện tích đáy (hình vuông) là:
\[ A_{\text{đáy}} = a^2 = 180^2 = 32400 \, \text{m}^2 \]

Thể tích kim tự tháp là:
\[ V = \frac{1}{3} \times 32400 \times 90 \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 2916000 \]
\[ V = 972000 \, \text{m}^3 \]

### Kết quả

- Diện tích xung quanh: \( 32400\sqrt{3} \, \text{m}^2 \)
- Thể tích: \( 972000 \, \text{m}^3 \)