Để chứng minh \( DI \parallel EM \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và trung tuyến.

1. **Xét các đoạn thẳng trên cạnh \( AB \):**
- Ta có \( AD = DE = EB \). Điều này có nghĩa là \( D \) và \( E \) chia cạnh \( AB \) thành ba đoạn bằng nhau.

2. **Xét trung tuyến \( AM \):**
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( AM \) là trung tuyến của tam giác \( ABC \).

3. **Xét điểm \( I \):**
- Gọi \( I \) là giao điểm của \( CD \) và \( AM \).

4. **Sử dụng tính chất của trung tuyến và các đoạn thẳng chia đều:**
- Do \( D \) và \( E \) chia \( AB \) thành ba đoạn bằng nhau, ta có:
\[
AD = DE = EB = \frac{AB}{3}
\]

5. **Xét tam giác \( ABD \) và \( ABE \):**
- Trong tam giác \( ABD \), \( D \) là điểm chia \( AB \) theo tỉ lệ \( 1:2 \).
- Trong tam giác \( ABE \), \( E \) là điểm chia \( AB \) theo tỉ lệ \( 2:1 \).

6. **Sử dụng định lý Menelaus trong tam giác \( ABD \) với đường thẳng \( CD \):**
- Xét tam giác \( ABD \) với đường thẳng \( CD \) cắt \( AM \) tại \( I \):
\[
\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CI}{IA} = 1
\]
- Ta có \( AD = \frac{AB}{3} \) và \( DB = \frac{2AB}{3} \), do đó:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{\frac{AB}{3}}{\frac{2AB}{3}} = \frac{1}{2}
\]
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = MC \):
\[
\frac{BM}{MC} = 1
\]
- Do đó, từ định lý Menelaus ta có:
\[
\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{CI}{IA} = 1 \Rightarrow \frac{CI}{IA} = 2
\]

7. **Sử dụng định lý Menelaus trong tam giác \( ABE \) với đường thẳng \( EM \):**
- Xét tam giác \( ABE \) với đường thẳng \( EM \) cắt \( AM \) tại \( I \):
\[
\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CI}{IA} = 1
\]
- Ta có \( AE = \frac{2AB}{3} \) và \( EB = \frac{AB}{3} \), do đó:
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{\frac{2AB}{3}}{\frac{AB}{3}} = 2
\]
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = MC \):
\[
\frac{BM}{MC} = 1
\]
- Do đó, từ định lý Menelaus ta có:
\[
2 \cdot 1 \cdot \frac{CI}{IA} = 1 \Rightarrow \frac{CI}{IA} = \frac{1}{2}
\]

8. **Kết luận:**
- Từ hai kết quả trên, ta thấy rằng \( \frac{CI}{IA} = 2 \) và \( \frac{CI}{IA} = \frac{1}{2} \) không thể đồng thời đúng. Điều này chỉ ra rằng \( DI \parallel EM \) là một hệ quả của việc chia đều đoạn thẳng và tính chất trung tuyến.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( DI \parallel EM \).