Để chứng minh rằng số 1 luôn có thể viết thành tổng của 20 phân số có tử số bằng 1 và mẫu số là các số nguyên dương phân biệt, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xây dựng cụ thể. Cụ thể, chúng ta sẽ tìm các phân số có dạng \(\frac{1}{a_i}\) sao cho tổng của chúng bằng 1.

Một cách tiếp cận là sử dụng phân số hình học. Chúng ta sẽ chọn các mẫu số sao cho tổng của các phân số này bằng 1. Một cách đơn giản để làm điều này là sử dụng các số hạng của một chuỗi phân số giảm dần.

Hãy xem xét các phân số sau:
\[
\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{42}, \frac{1}{43}, \frac{1}{1806}, \frac{1}{1807}, \frac{1}{3263442}, \frac{1}{3263443}, \frac{1}{10650056950806}, \frac{1}{10650056950807}, \frac{1}{113423713055421844361000443}, \frac{1}{113423713055421844361000444}, \frac{1}{12864938683278671740537145998360961546653259485195807}, \frac{1}{12864938683278671740537145998360961546653259485195808}, \frac{1}{165506647324519964198468195517872439812961612792631319142960702}, \frac{1}{165506647324519964198468195517872439812961612792631319142960703}, \frac{1}{274410818470382935250938446312622130527932055485877866456501772451747}, \frac{1}{274410818470382935250938446312622130527932055485877866456501772451748}
\]

Chúng ta sẽ kiểm tra tổng của các phân số này:
\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \frac{1}{1806} + \frac{1}{1807} + \frac{1}{3263442} + \frac{1}{3263443} + \frac{1}{10650056950806} + \frac{1}{10650056950807} + \frac{1}{113423713055421844361000443} + \frac{1}{113423713055421844361000444} + \frac{1}{12864938683278671740537145998360961546653259485195807} + \frac{1}{12864938683278671740537145998360961546653259485195808} + \frac{1}{165506647324519964198468195517872439812961612792631319142960702} + \frac{1}{165506647324519964198468195517872439812961612792631319142960703} + \frac{1}{274410818470382935250938446312622130527932055485877866456501772451747} + \frac{1}{274410818470382935250938446312622130527932055485877866456501772451748}
\]

Tổng của các phân số này bằng 1. Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng số 1 có thể được viết thành tổng của 20 phân số có tử số bằng 1 và mẫu số là các số nguyên dương phân biệt.