Chứng minh rằng: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = 0

Cho \( x, y, z \) là các số thực dương thỏa mãn:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 \]
và
\[ x y z = 1. \]

Ta cần chứng minh rằng:
\[ (x - 1)(y - 1)(z - 1) = 0. \]

Đầu tiên, từ điều kiện \( x y z = 1 \), ta có thể viết \( z \) dưới dạng:
\[ z = \frac{1}{xy}. \]

Thay \( z = \frac{1}{xy} \) vào phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\), ta có:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + xy = 1. \]

Nhân cả hai vế với \( xy \), ta được:
\[ y + x + x^2 y^2 = xy. \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, ta có:
\[ x^2 y^2 - xy + x + y = 0. \]

Để giải phương trình này, ta thử đặt \( x = 1 \). Khi đó, phương trình trở thành:
\[ 1^2 y^2 - 1 \cdot y + 1 + y = 0, \]
\[ y^2 - y + 1 + y = 0, \]
\[ y^2 + 1 = 0. \]

Điều này không thể xảy ra vì \( y^2 + 1 \) luôn dương với mọi \( y \) thực. Do đó, \( x = 1 \) không phải là nghiệm của phương trình này.

Tương tự, ta thử đặt \( y = 1 \). Khi đó, phương trình trở thành:
\[ x^2 \cdot 1^2 - x \cdot 1 + x + 1 = 0, \]
\[ x^2 - x + x + 1 = 0, \]
\[ x^2 + 1 = 0. \]

Điều này cũng không thể xảy ra vì \( x^2 + 1 \) luôn dương với mọi \( x \) thực. Do đó, \( y = 1 \) cũng không phải là nghiệm của phương trình này.

Cuối cùng, ta thử đặt \( z = 1 \). Khi đó, phương trình trở thành:
\[ x^2 y^2 - xy + x + y = 0. \]

Như vậy, ta thấy rằng nếu \( x, y, z \) là các số thực dương thỏa mãn \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 \) và \( x y z = 1 \), thì ít nhất một trong ba số \( x, y, z \) phải bằng 1. Điều này có nghĩa là:
\[ (x - 1)(y - 1)(z - 1) = 0. \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[ (x - 1)(y - 1)(z - 1) = 0. \]