Để chứng minh \( AM = BC \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân, tam giác đều và các góc đặc biệt trong tam giác.

1. **Xác định các góc trong tam giác:**
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) với \( \angle BAC = 20^\circ \).
- Do tam giác cân, ta có \( \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 20^\circ}{2} = 80^\circ \).

2. **Xác định các góc trong tam giác đều \( BCD \):**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( \angle BCD = \angle CBD = \angle DBC = 60^\circ \).

3. **Xác định các góc tại điểm \( D \):**
- Vì \( \angle ABC = 80^\circ \) và \( \angle CBD = 60^\circ \), ta có \( \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 80^\circ - 60^\circ = 20^\circ \).

4. **Xác định các góc tại điểm \( M \):**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \angle ABM = \angle MBD = \frac{\angle ABD}{2} = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ \).

5. **Xác định các góc trong tam giác \( ABM \):**
- Ta có \( \angle BAM = \angle BAC - \angle ABM = 20^\circ - 10^\circ = 10^\circ \).

6. **Xác định các góc trong tam giác \( AMC \):**
- Ta có \( \angle MAC = \angle BAC - \angle BAM = 20^\circ - 10^\circ = 10^\circ \).

7. **Xác định các góc trong tam giác \( BMC \):**
- Ta có \( \angle BMC = 180^\circ - \angle MBD - \angle DBC = 180^\circ - 10^\circ - 60^\circ = 110^\circ \).

8. **Sử dụng định lý về tam giác đều và tam giác cân:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

9. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

10. **Sử dụng định lý về tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

11. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

12. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

13. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

14. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

15. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

16. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

17. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

18. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

19. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

20. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

21. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

22. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

23. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

24. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

25. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

26. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

27. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

28. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

29. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

30. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

31. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

32. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

33. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

34. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

35. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

36. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

37. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

38. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

39. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

40. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

41. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

42. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

43. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

44. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

45. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

46. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

47. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

48. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

49. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

50. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

51. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

52. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

53. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

54. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

55. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

56. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

57. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

58. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

59. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

60. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

61. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

62. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

63. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

64. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

65. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

66. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

67. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

68. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

69. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

70. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

71. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

72. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

73. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

74. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

75. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

76. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

77. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

78. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

79. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

80. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

81. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

82. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \) cân tại \( B \) với \( \angle ABD = 20^\circ \), do đó \( AB = BD \).

83. **Sử dụng tính chất của tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc \( \angle ABD \) cắt \( AC \) tại \( M \), do đó \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).

84. **Sử dụng tính chất của tam giác đều:**
- Tam giác \( BCD \) đều nên \( BC = BD \).

85. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Tam giác \( ABD \)