Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HN vuông góc AB, HM vuông góc AC.

a) Biết BH = 4 cm, CH = 9 cm. Tính chu vi tứ giác AMHN.

Để tính chu vi tứ giác AMHN, ta cần tính độ dài các đoạn AM, HN, HM và AN.

- Đầu tiên, ta tính AH bằng cách sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông BHC:
\[
AH^2 = BH \cdot CH = 4 \cdot 9 = 36 \implies AH = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}
\]

- Tiếp theo, ta tính AB và AC:
\[
AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \text{ cm}
\]
\[
AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \text{ cm}
\]

- Đoạn AN và AM:
\[
AN = AH \cdot \cos(\angle HNA) = AH \cdot \frac{BH}{AB} = 6 \cdot \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}} \text{ cm}
\]
\[
AM = AH \cdot \cos(\angle HMA) = AH \cdot \frac{CH}{AC} = 6 \cdot \frac{9}{3\sqrt{13}} = \frac{18}{\sqrt{13}} \text{ cm}
\]

- Đoạn HN và HM:
\[
HN = AH \cdot \sin(\angle HNA) = AH \cdot \frac{AH}{AB} = 6 \cdot \frac{6}{2\sqrt{13}} = \frac{36}{2\sqrt{13}} = \frac{18}{\sqrt{13}} \text{ cm}
\]
\[
HM = AH \cdot \sin(\angle HMA) = AH \cdot \frac{AH}{AC} = 6 \cdot \frac{6}{3\sqrt{13}} = \frac{36}{3\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}} \text{ cm}
\]

- Chu vi tứ giác AMHN:
\[
\text{Chu vi} = AM + HN + HM + AN = \frac{18}{\sqrt{13}} + \frac{18}{\sqrt{13}} + \frac{12}{\sqrt{13}} + \frac{12}{\sqrt{13}} = \frac{60}{\sqrt{13}} \text{ cm}
\]

b) Chứng minh \(AN \cdot NB + AM \cdot MC = AH^2\).

- Ta có:
\[
AN = \frac{12}{\sqrt{13}}, \quad NB = AB - AN = 2\sqrt{13} - \frac{12}{\sqrt{13}}
\]
\[
AM = \frac{18}{\sqrt{13}}, \quad MC = AC - AM = 3\sqrt{13} - \frac{18}{\sqrt{13}}
\]

- Tính \(AN \cdot NB\):
\[
AN \cdot NB = \frac{12}{\sqrt{13}} \left(2\sqrt{13} - \frac{12}{\sqrt{13}}\right) = \frac{12}{\sqrt{13}} \cdot 2\sqrt{13} - \frac{12}{\sqrt{13}} \cdot \frac{12}{\sqrt{13}} = 24 - \frac{144}{13}
\]

- Tính \(AM \cdot MC\):
\[
AM \cdot MC = \frac{18}{\sqrt{13}} \left(3\sqrt{13} - \frac{18}{\sqrt{13}}\right) = \frac{18}{\sqrt{13}} \cdot 3\sqrt{13} - \frac{18}{\sqrt{13}} \cdot \frac{18}{\sqrt{13}} = 54 - \frac{324}{13}
\]

- Tổng \(AN \cdot NB + AM \cdot MC\):
\[
AN \cdot NB + AM \cdot MC = \left(24 - \frac{144}{13}\right) + \left(54 - \frac{324}{13}\right) = 78 - \frac{468}{13} = 78 - 36 = 42
\]

- Ta có \(AH^2 = 6^2 = 36\).

Như vậy, \(AN \cdot NB + AM \cdot MC = AH^2\) không đúng với dữ liệu đã cho. Có thể có sai sót trong tính toán hoặc dữ liệu ban đầu.