Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và các định lý hình học cơ bản.

### a) Chứng minh AD = AE

Tam giác ABC cân tại A, do đó \(AB = AC\). Đường cao AH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác ABC.

Gọi I là một điểm bất kỳ trên đường cao AH. Ta có:

- BI cắt AC tại D
- CI cắt AB tại E

Xét tam giác ABI và tam giác ACI:

- \(AB = AC\) (do tam giác ABC cân tại A)
- \(AI\) là chung
- \(\angle BAI = \angle CAI\) (do AI là đường phân giác của tam giác cân ABC)

Do đó, tam giác ABI và tam giác ACI là hai tam giác bằng nhau (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

Vì vậy, \(AD = AE\).

### b) Xác định hình dạng của tứ giác BEDC

Để xác định hình dạng của tứ giác BEDC, ta cần xem xét các tính chất của các đoạn thẳng và các góc trong tứ giác này.

- \(BI\) và \(CI\) là các đường chéo của tứ giác BEDC.
- \(AD = AE\) (đã chứng minh ở phần a).

Do tam giác ABC cân tại A, ta có:

- \(\angle BAC = \angle BCA\)
- \(\angle ABC = \angle ACB\)

Vì I nằm trên đường cao AH, nên \(AH \perp BC\). Điều này dẫn đến các góc tại các đỉnh của tứ giác BEDC có các tính chất đặc biệt.

Tuy nhiên, để xác định chính xác hình dạng của tứ giác BEDC, ta cần thêm thông tin về các góc và các cạnh khác. Trong trường hợp này, tứ giác BEDC có thể là một tứ giác nội tiếp hoặc một tứ giác có các tính chất đặc biệt khác, nhưng không đủ thông tin để xác định chính xác hình dạng của nó.

### c) Xác định vị trí của I để BE = ED = DC

Để BE = ED = DC, ta cần I nằm ở vị trí đặc biệt sao cho các đoạn thẳng này bằng nhau.

Do tam giác ABC cân tại A và I nằm trên đường cao AH, ta có thể sử dụng tính chất đối xứng của tam giác cân để xác định vị trí của I.

Nếu I là trung điểm của AH, thì các đoạn thẳng BI và CI sẽ chia tam giác ABC thành các phần bằng nhau. Khi đó, các đoạn thẳng BE, ED và DC sẽ bằng nhau.

Vậy, vị trí của I để BE = ED = DC là trung điểm của đường cao AH.