Để tìm cực trị của hàm số \( y = \sqrt{4x} - 2x^2 \), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tìm đạo hàm của hàm số**:
Đầu tiên, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( y \).

\( y = \sqrt{4x} - 2x^2 \)

Đạo hàm của \( y \) là:

\( y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{4x}) - \frac{d}{dx}(2x^2) \)

Sử dụng quy tắc đạo hàm:

\( \frac{d}{dx}(\sqrt{4x}) = \frac{d}{dx}((4x)^{1/2}) = \frac{1}{2}(4x)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x}} = \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \)

\( \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x \)

Vậy đạo hàm của hàm số là:

\( y' = \frac{1}{\sqrt{x}} - 4x \)

2. **Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định**:
Để tìm các điểm cực trị, chúng ta giải phương trình \( y' = 0 \):

\( \frac{1}{\sqrt{x}} - 4x = 0 \)

\( \frac{1}{\sqrt{x}} = 4x \)

Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} \):

\( 1 = 4x\sqrt{x} \)

\( 1 = 4x^{3/2} \)

\( x^{3/2} = \frac{1}{4} \)

\( x = \left(\frac{1}{4}\right)^{2/3} \)

\( x = \left(\frac{1}{2^2}\right)^{2/3} \)

\( x = \frac{1}{2^{4/3}} \)

\( x = 2^{-4/3} \)

\( x = \left(\frac{1}{2}\right)^{4/3} \)

3. **Xác định loại cực trị**:
Để xác định loại cực trị (cực đại hay cực tiểu), chúng ta có thể sử dụng đạo hàm bậc hai hoặc kiểm tra dấu của đạo hàm bậc nhất quanh điểm tìm được.

Đạo hàm bậc hai của hàm số là:

\( y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 4x\right) \)

\( y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) - \frac{d}{dx}(4x) \)

\( \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \frac{d}{dx}(x^{-1/2}) = -\frac{1}{2}x^{-3/2} \)

\( \frac{d}{dx}(4x) = 4 \)

Vậy:

\( y'' = -\frac{1}{2}x^{-3/2} - 4 \)

Thay \( x = \left(\frac{1}{2}\right)^{4/3} \) vào \( y'' \):

\( y'' = -\frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4/3}\right)^{-3/2} - 4 \)

\( y'' = -\frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\right) - 4 \)

\( y'' = -\frac{1}{2} \cdot 2^2 - 4 \)

\( y'' = -\frac{1}{2} \cdot 4 - 4 \)

\( y'' = -2 - 4 \)

\( y'' = -6 \)

Vì \( y'' < 0 \), điểm \( x = \left(\frac{1}{2}\right)^{4/3} \) là điểm cực đại.

4. **Tính giá trị cực đại**:
Thay \( x = \left(\frac{1}{2}\right)^{4/3} \) vào hàm số \( y \):

\( y = \sqrt{4\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4/3}\right)} - 2\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4/3}\right)^2 \)

\( y = \sqrt{4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4/3}} - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{8/3} \)

\( y = \sqrt{4 \cdot 2^{-4/3}} - 2 \cdot 2^{-8/3} \)

\( y = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{-4/3}} - 2 \cdot 2^{-8/3} \)

\( y = \sqrt{2^{2 - 4/3}} - 2 \cdot 2^{-8/3} \)

\( y = \sqrt{2^{6/3 - 4/3}} - 2 \cdot 2^{-8/3} \)

\( y = \sqrt{2^{2/3}} - 2 \cdot 2^{-8/3} \)

\( y = 2^{1/3} - 2 \cdot 2^{-8/3} \)

\( y = 2^{1/3} - 2^{-2} \)

\( y = 2^{1/3} - \frac{1}{4} \)

Vậy, hàm số \( y = \sqrt{4x} - 2x^2 \) có cực đại tại \( x = \left(\frac{1}{2}\right)^{4/3} \) với giá trị cực đại là \( y = 2^{1/3} - \frac{1}{4} \).