Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập phương trình dựa trên thông tin đã cho.

Gọi \( x \) là số ngày mà người thứ nhất cần để hoàn thành 2 sản phẩm nếu làm một mình.
Gọi \( y \) là số ngày mà người thứ hai cần để hoàn thành 2 sản phẩm nếu làm một mình.

Theo đề bài, hai người thợ cùng làm chung thì theo dự định 6 ngày sẽ xong một sản phẩm. Vậy trong 1 ngày, hai người làm chung sẽ hoàn thành \(\frac{1}{6}\) sản phẩm.

Khi bắt đầu, họ làm chung được 8 ngày. Trong 8 ngày này, họ hoàn thành:
\[ 8 \times \frac{1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \text{ sản phẩm} \]

Sau đó, người thứ nhất bị bệnh phải nghỉ, người thứ hai làm một mình trong 10 ngày nữa. Trong 10 ngày này, người thứ hai hoàn thành:
\[ 10 \times \frac{2}{y} \text{ sản phẩm} \]

Tổng cộng, họ đã hoàn thành 2 sản phẩm:
\[ \frac{4}{3} + \frac{20}{y} = 2 \]

Giải phương trình này để tìm \( y \):
\[ \frac{4}{3} + \frac{20}{y} = 2 \]
\[ \frac{20}{y} = 2 - \frac{4}{3} \]
\[ \frac{20}{y} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} \]
\[ \frac{20}{y} = \frac{2}{3} \]
\[ 20 = \frac{2y}{3} \]
\[ 60 = 2y \]
\[ y = 30 \]

Vậy người thứ hai cần 30 ngày để hoàn thành 2 sản phẩm nếu làm một mình.

Bây giờ, chúng ta cần tìm \( x \). Trong 1 ngày, người thứ hai hoàn thành \(\frac{2}{30} = \frac{1}{15}\) sản phẩm. Khi hai người làm chung, họ hoàn thành \(\frac{1}{6}\) sản phẩm trong 1 ngày. Vậy trong 1 ngày, người thứ nhất hoàn thành:
\[ \frac{1}{6} - \frac{1}{15} \text{ sản phẩm} \]

Tính toán:
\[ \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \]

Vậy người thứ nhất hoàn thành \(\frac{1}{10}\) sản phẩm trong 1 ngày. Do đó, người thứ nhất cần 10 ngày để hoàn thành 1 sản phẩm và 20 ngày để hoàn thành 2 sản phẩm.

Kết luận:
- Người thứ nhất cần 20 ngày để hoàn thành 2 sản phẩm nếu làm một mình.
- Người thứ hai cần 30 ngày để hoàn thành 2 sản phẩm nếu làm một mình.