Để tìm hai số thỏa mãn các điều kiện đã cho, chúng ta có thể thiết lập hệ phương trình và giải nó.

Gọi hai số cần tìm là \( x \) và \( y \).

Theo đề bài:
1. Tổng của hai số là 17:
\[ x + y = 17 \]

2. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị và số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105:
\[ (x + 3)(y + 2) = 105 \]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[ y = 17 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[ (x + 3)((17 - x) + 2) = 105 \]
\[ (x + 3)(19 - x) = 105 \]

Khai triển và đơn giản hóa phương trình:
\[ x \cdot 19 - x^2 + 3 \cdot 19 - 3x = 105 \]
\[ 19x - x^2 + 57 - 3x = 105 \]
\[ -x^2 + 16x + 57 = 105 \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[ -x^2 + 16x + 57 - 105 = 0 \]
\[ -x^2 + 16x - 48 = 0 \]

Nhân cả hai vế với -1 để đơn giản hóa:
\[ x^2 - 16x + 48 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Với \( a = 1 \), \( b = -16 \), và \( c = 48 \):
\[ x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{2} \]
\[ x = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2} \]
\[ x = \frac{16 \pm 8}{2} \]

Do đó, chúng ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{16 + 8}{2} = 12 \]
\[ x = \frac{16 - 8}{2} = 4 \]

Vậy, hai số cần tìm là:
1. \( x = 12 \) và \( y = 17 - 12 = 5 \)
2. \( x = 4 \) và \( y = 17 - 4 = 13 \)

Kiểm tra lại điều kiện thứ hai:
- Với \( x = 12 \) và \( y = 5 \):
\[ (12 + 3)(5 + 2) = 15 \cdot 7 = 105 \]

- Với \( x = 4 \) và \( y = 13 \):
\[ (4 + 3)(13 + 2) = 7 \cdot 15 = 105 \]

Cả hai cặp số đều thỏa mãn điều kiện đề bài. Vậy hai số cần tìm là:
- \( 12 \) và \( 5 \)
- \( 4 \) và \( 13 \)