Chúng ta có hệ phương trình sau:

1. \( x^2 + y^2 = 5 \)
2. \( 3(x + y) + 4xy = 7 \)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và thay thế.

Đầu tiên, đặt \( S = x + y \) và \( P = xy \). Khi đó, ta có:

1. \( x^2 + y^2 = S^2 - 2P = 5 \)
2. \( 3S + 4P = 7 \)

Từ phương trình thứ nhất, ta có:

\[ S^2 - 2P = 5 \]

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[ 3S + 4P = 7 \]

Giải phương trình thứ hai để tìm \( P \):

\[ 4P = 7 - 3S \]
\[ P = \frac{7 - 3S}{4} \]

Thay \( P \) vào phương trình thứ nhất:

\[ S^2 - 2\left(\frac{7 - 3S}{4}\right) = 5 \]
\[ S^2 - \frac{2(7 - 3S)}{4} = 5 \]
\[ S^2 - \frac{7 - 3S}{2} = 5 \]
\[ 2S^2 - (7 - 3S) = 10 \]
\[ 2S^2 - 7 + 3S = 10 \]
\[ 2S^2 + 3S - 17 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[ S = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Ở đây, \( a = 2 \), \( b = 3 \), và \( c = -17 \):

\[ S = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17)}}{2 \cdot 2} \]
\[ S = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 136}}{4} \]
\[ S = \frac{-3 \pm \sqrt{145}}{4} \]

Vậy, chúng ta có hai giá trị của \( S \):

\[ S_1 = \frac{-3 + \sqrt{145}}{4} \]
\[ S_2 = \frac{-3 - \sqrt{145}}{4} \]

Bây giờ, chúng ta tìm \( P \) tương ứng:

\[ P_1 = \frac{7 - 3S_1}{4} = \frac{7 - 3\left(\frac{-3 + \sqrt{145}}{4}\right)}{4} = \frac{7 - \frac{-9 + 3\sqrt{145}}{4}}{4} = \frac{7 + \frac{9 - 3\sqrt{145}}{4}}{4} = \frac{28 + 9 - 3\sqrt{145}}{16} = \frac{37 - 3\sqrt{145}}{16} \]

\[ P_2 = \frac{7 - 3S_2}{4} = \frac{7 - 3\left(\frac{-3 - \sqrt{145}}{4}\right)}{4} = \frac{7 - \frac{-9 - 3\sqrt{145}}{4}}{4} = \frac{7 + \frac{9 + 3\sqrt{145}}{4}}{4} = \frac{28 + 9 + 3\sqrt{145}}{16} = \frac{37 + 3\sqrt{145}}{16} \]

Vậy, chúng ta có hai cặp nghiệm \( (S, P) \):

1. \( S_1 = \frac{-3 + \sqrt{145}}{4} \) và \( P_1 = \frac{37 - 3\sqrt{145}}{16} \)
2. \( S_2 = \frac{-3 - \sqrt{145}}{4} \) và \( P_2 = \frac{37 + 3\sqrt{145}}{16} \)

Từ đây, chúng ta giải phương trình bậc hai \( t^2 - St + P = 0 \) để tìm \( x \) và \( y \):

1. \( t^2 - S_1t + P_1 = 0 \)
2. \( t^2 - S_2t + P_2 = 0 \)

Giải phương trình bậc hai này sẽ cho chúng ta các nghiệm \( x \) và \( y \). Tuy nhiên, do biểu thức phức tạp, ta có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm để tìm các nghiệm cụ thể.