Để tìm nghiệm của phương trình \(8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = 0\), chúng ta có thể thử sử dụng phương pháp phân tích hoặc các phương pháp số học như phương pháp Newton-Raphson. Tuy nhiên, trước hết, hãy thử xem liệu phương trình này có nghiệm đơn giản nào không.

Giả sử \(x = 1\):

\[8(1)^3 - 12(1)^2 + 6(1) - 1 = 8 - 12 + 6 - 1 = 1 \neq 0\]

Giả sử \(x = -1\):

\[8(-1)^3 - 12(-1)^2 + 6(-1) - 1 = -8 - 12 - 6 - 1 = -27 \neq 0\]

Giả sử \(x = \frac{1}{2}\):

\[8\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 12\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 8\left(\frac{1}{8}\right) - 12\left(\frac{1}{4}\right) + 6\left(\frac{1}{2}\right) - 1\]

\[= 1 - 3 + 3 - 1 = 0\]

Vậy \(x = \frac{1}{2}\) là một nghiệm của phương trình. Bây giờ, chúng ta có thể chia đa thức \(8x^3 - 12x^2 + 6x - 1\) cho \(x - \frac{1}{2}\) để tìm các nghiệm còn lại.

Sử dụng phép chia đa thức:

\[8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 \div (x - \frac{1}{2})\]

Ta có thể sử dụng phương pháp chia tổng quát hoặc phương pháp Horner để thực hiện phép chia này. Sau khi thực hiện phép chia, ta sẽ có:

\[8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (x - \frac{1}{2})(8x^2 - 8x + 2)\]

Bây giờ, ta cần giải phương trình bậc hai \(8x^2 - 8x + 2 = 0\):

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Với \(a = 8\), \(b = -8\), và \(c = 2\):

\[x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2}}{2 \cdot 8}\]

\[x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{16}\]

\[x = \frac{8 \pm \sqrt{0}}{16}\]

\[x = \frac{8}{16}\]

\[x = \frac{1}{2}\]

Vậy phương trình \(8x^2 - 8x + 2 = 0\) có nghiệm kép \(x = \frac{1}{2}\).

Kết luận, phương trình \(8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = 0\) có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{1}{2}\).