Để hai hàm số \( f(x) = (4-m)x + 1 \) và \( g(x) = y + (2m-1)x + 3 \) cùng đồng biến trên \(\mathbb{R}\), ta cần kiểm tra điều kiện đồng biến của từng hàm số.

1. Hàm số \( f(x) = (4-m)x + 1 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hệ số của \( x \) là dương:
\[
4 - m > 0 \implies m < 4
\]

2. Hàm số \( g(x) = y + (2m-1)x + 3 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hệ số của \( x \) là dương:
\[
2m - 1 > 0 \implies m > \frac{1}{2}
\]

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có:
\[
\frac{1}{2} < m < 4
\]

Vì \( m \) là số nguyên, nên các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện trên là:
\[
m = 1, 2, 3
\]

Vậy các giá trị nguyên của \( m \) để hai hàm số cùng đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là \( m = 1, 2, 3 \).