Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn chứng minh các đẳng thức này nhé.

### a) \((x + 2y)^3 - (x - 2y)^3 = 4y(3x^2 + 4y^2)\)

Ta sử dụng công thức khai triển hằng đẳng thức lập phương của tổng và hiệu:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]
\[
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]

Với \(a = x\) và \(b = 2y\), ta có:

\[
(x + 2y)^3 = x^3 + 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 + (2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3
\]

\[
(x - 2y)^3 = x^3 - 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 - (2y)^3 = x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3
\]

Lấy hiệu hai biểu thức trên:

\[
(x + 2y)^3 - (x - 2y)^3 = (x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3) - (x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3)
\]

\[
= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 - x^3 + 6x^2y - 12xy^2 + 8y^3
\]

\[
= 12x^2y + 16y^3
\]

\[
= 4y(3x^2 + 4y^2)
\]

Vậy ta đã chứng minh được:

\[
(x + 2y)^3 - (x - 2y)^3 = 4y(3x^2 + 4y^2)
\]

### b) \((2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2) - (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2) = -2y^3\)

Ta khai triển từng biểu thức:

\[
(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2) = 2x \cdot 4x^2 + 2x \cdot 2xy + 2x \cdot y^2 - y \cdot 4x^2 - y \cdot 2xy - y \cdot y^2
\]

\[
= 8x^3 + 4x^2y + 2xy^2 - 4x^2y - 2xy^2 - y^3
\]

\[
= 8x^3 - y^3
\]

\[
(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2) = 2x \cdot 4x^2 + 2x \cdot (-2xy) + 2x \cdot y^2 + y \cdot 4x^2 + y \cdot (-2xy) + y \cdot y^2
\]

\[
= 8x^3 - 4x^2y + 2xy^2 + 4x^2y - 2xy^2 + y^3
\]

\[
= 8x^3 + y^3
\]

Lấy hiệu hai biểu thức trên:

\[
(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2) - (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2) = (8x^3 - y^3) - (8x^3 + y^3)
\]

\[
= 8x^3 - y^3 - 8x^3 - y^3
\]

\[
= -2y^3
\]

Vậy ta đã chứng minh được:

\[
(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2) - (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2) = -2y^3
\]

### c) \((x + y)^2 - (2x + 2y)(x - 3y) + (x - 3y)^2 = 16y^2\)

Khai triển từng biểu thức:

\[
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

\[
(2x + 2y)(x - 3y) = 2x(x - 3y) + 2y(x - 3y) = 2x^2 - 6xy + 2xy - 6y^2 = 2x^2 - 4xy - 6y^2
\]

\[
(x - 3y)^2 = x^2 - 6xy + 9y^2
\]

Cộng các biểu thức lại:

\[
(x + y)^2 - (2x + 2y)(x - 3y) + (x - 3y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - (2x^2 - 4xy - 6y^2) + (x^2 - 6xy + 9y^2)
\]

\[
= x^2 + 2xy + y^2 - 2x^2 + 4xy + 6y^2 + x^2 - 6xy + 9y^2
\]

\[
= x^2 - 2x^2 + x^2 + 2xy + 4xy - 6xy + y^2 + 6y^2 + 9y^2
\]

\[
= 0 + 0 + 16y^2
\]

\[
= 16y^2
\]

Vậy ta đã chứng minh được:

\[
(x + y)^2 - (2x + 2y)(x - 3y) + (x - 3y)^2 = 16y^2
\]

### d) \((x + y + z)^2 - (x + y - z)^2 = 4z(x + y)\)

Sử dụng công thức khai triển hằng đẳng thức:

\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

\[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
\]

Với \(a = x + y\) và \(b = z\), ta có:

\[
(x + y + z)^2 = (x + y)^2 + 2(x + y)z + z^2
\]

\[
(x + y - z)^2 = (x + y)^2 - 2(x + y)z + z^2
\]

Lấy hiệu hai biểu thức trên:

\[
(x + y + z)^2 - (x + y - z)^2 = [(x + y)^2 + 2(x + y)z + z^2] - [(x + y)^2 - 2(x + y)z + z^2]
\]

\[
= (x + y)^2 + 2(x + y)z + z^2 - (x + y)^2 + 2(x + y)z - z^2
\]

\[
= 4(x + y)z
\]

\[
= 4z(x + y)
\]

Vậy ta đã chứng minh được:

\[
(x + y + z)^2 - (x + y - z)^2 = 4z(x + y)
\]

Hy vọng những lời giải này giúp bạn hiểu rõ hơn về các đẳng thức cần chứng minh. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào khác, đừng ngần ngại hỏi nhé!