Để chứng minh rằng tam giác đã cho là tam giác đều, ta cần chứng minh rằng \(a = b = c\).

Giả sử \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của tam giác, ta có bất đẳng thức tam giác:
\[a + b > c\]
\[a + c > b\]
\[b + c > a\]

Xét biểu thức đã cho:
\[(a + b - c)^3 + (b + c - a)^3 + (c + a - b)^3 = a^3 + b^3 + c^3\]

Đặt \(x = a + b - c\), \(y = b + c - a\), và \(z = c + a - b\). Khi đó, ta có:
\[x^3 + y^3 + z^3 = a^3 + b^3 + c^3\]

Ta cũng có:
\[x + y + z = (a + b - c) + (b + c - a) + (c + a - b) = a + b - c + b + c - a + c + a - b = a + b + c - a - b - c = 0\]

Do đó, \(x + y + z = 0\).

Sử dụng đẳng thức \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)\), ta có:
\[x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[a^3 + b^3 + c^3 = 3xyz\]

Do đó:
\[a^3 + b^3 + c^3 = 3(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)\]

Để biểu thức này đúng, ta cần \(a = b = c\). Khi đó, tam giác đã cho là tam giác đều.

Vậy, ta đã chứng minh rằng tam giác đã cho là tam giác đều.