Để tính \( S = x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 \) với \( x_1 \) và \( x_2 \) là nghiệm của phương trình \( 2x^2 - 9x + 4 = 0 \), ta có thể sử dụng định lý Viète và một số phép biến đổi đại số.

Theo định lý Viète, nếu \( x_1 \) và \( x_2 \) là nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \), thì:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]
\[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \]

Áp dụng vào phương trình \( 2x^2 - 9x + 4 = 0 \):
\[ x_1 + x_2 = -\frac{-9}{2} = \frac{9}{2} \]
\[ x_1 x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Bây giờ, ta cần tính \( S = x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 \).

Ta biết rằng:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[ x_1^2 + x_2^2 = \left( \frac{9}{2} \right)^2 - 2 \cdot 2 \]
\[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{81}{4} - 4 \]
\[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} \]
\[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{65}{4} \]

Do đó:
\[ S = x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 = \frac{65}{4} + 2 \]
\[ S = \frac{65}{4} + \frac{8}{4} \]
\[ S = \frac{73}{4} \]

Vậy, giá trị của \( S \) là \( \frac{73}{4} \).