Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho n*2^n+3^n chia hết cho 25

Để tìm tất cả các số nguyên dương \( n \) sao cho \( n \cdot 2^n + 3^n \) chia hết cho 25, ta cần kiểm tra điều kiện \( n \cdot 2^n + 3^n \equiv 0 \pmod{25} \).

Trước hết, ta sẽ xem xét các giá trị của \( 3^n \mod 25 \). Ta có thể nhận thấy rằng \( 3^n \mod 25 \) có một chu kỳ tuần hoàn. Ta sẽ tính một vài giá trị của \( 3^n \mod 25 \):

\[
\begin{align*}
3^1 &\equiv 3 \pmod{25}, \\
3^2 &\equiv 9 \pmod{25}, \\
3^3 &\equiv 27 \equiv 2 \pmod{25}, \\
3^4 &\equiv 6 \pmod{25}, \\
3^5 &\equiv 18 \pmod{25}, \\
3^6 &\equiv 54 \equiv 4 \pmod{25}, \\
3^7 &\equiv 12 \pmod{25}, \\
3^8 &\equiv 36 \equiv 11 \pmod{25}, \\
3^9 &\equiv 33 \equiv 8 \pmod{25}, \\
3^{10} &\equiv 24 \pmod{25}, \\
3^{11} &\equiv 72 \equiv 22 \pmod{25}, \\
3^{12} &\equiv 66 \equiv 16 \pmod{25}, \\
3^{13} &\equiv 48 \equiv 23 \pmod{25}, \\
3^{14} &\equiv 69 \equiv 19 \pmod{25}, \\
3^{15} &\equiv 57 \equiv 7 \pmod{25}, \\
3^{16} &\equiv 21 \pmod{25}, \\
3^{17} &\equiv 63 \equiv 13 \pmod{25}, \\
3^{18} &\equiv 39 \equiv 14 \pmod{25}, \\
3^{19} &\equiv 42 \equiv 17 \pmod{25}, \\
3^{20} &\equiv 51 \equiv 1 \pmod{25}.
\end{align*}
\]

Như vậy, \( 3^{20} \equiv 1 \pmod{25} \), và chu kỳ của \( 3^n \mod 25 \) là 20.

Bây giờ, ta sẽ xem xét \( n \cdot 2^n \mod 25 \). Ta cần tìm \( n \) sao cho \( n \cdot 2^n + 3^n \equiv 0 \pmod{25} \).

Do chu kỳ của \( 3^n \mod 25 \) là 20, ta sẽ kiểm tra các giá trị \( n \) từ 1 đến 20:

\[
\begin{align*}
n = 1: & \quad 1 \cdot 2^1 + 3^1 \equiv 2 + 3 \equiv 5 \not\equiv 0 \pmod{25}, \\
n = 2: & \quad 2 \cdot 2^2 + 3^2 \equiv 2 \cdot 4 + 9 \equiv 8 + 9 \equiv 17 \not\equiv 0 \pmod{25}, \\
n = 3: & \quad 3 \cdot 2^3 + 3^3 \equiv 3 \cdot 8 + 2 \equiv 24 + 2 \equiv 26 \equiv 1 \not\equiv 0 \pmod{25}, \\
n = 4: & \quad 4 \cdot 2^4 + 3^4 \equiv 4 \cdot 16 + 6 \equiv 64 + 6 \equiv 70 \equiv 20 \not\equiv 0 \pmod{25}, \\
n = 5: & \quad 5 \cdot 2^5 + 3^5 \equiv 5 \cdot 32 + 18 \equiv 160 + 18 \equiv 178 \equiv 3 \not\equiv 0 \pmod{25}, \\
n = 6: & \quad 6 \cdot 2^6 + 3^6 \equiv 6 \cdot 64 + 4 \equiv 384 + 4 \equiv 388 \equiv 13 \not\equiv 0 \pmod{25}, \\
n = 7: & \quad 7 \cdot 2^7 + 3^7 \equiv 7 \cdot 128 + 12 \equiv 896 + 12 \equiv 908 \equiv 8 \not\equiv 0 \pmod{25}, \\
n = 8: & \quad 8 \cdot 2^8 + 3^8 \equiv 8 \cdot 256 + 11 \equiv 2048 + 11 \equiv 2059 \equiv 9 \not\equiv 0 \pmod{25}, \\
n = 9: & \quad 9 \cdot 2^9 + 3^9 \equiv 9 \cdot 512 + 8 \equiv 4608 + 8 \equiv 4616 \equiv 16 \not\equiv 0 \pmod{25}, \\
n = 10: & \quad 10 \cdot 2^{10} + 3^{10} \equiv 10 \cdot 1024 + 24 \equiv 10240 + 24 \equiv 10264 \equiv 14 \not\equiv 0 \pmod{25}, \\
n = 11: & \quad 11 \cdot 2^{11} + 3^{11} \equiv 11 \cdot 2048 + 22 \equiv 22528 + 22 \equiv 22550 \equiv 0 \pmod{25}.
\end{align*}
\]

Như vậy, \( n = 11 \) là một giá trị thỏa mãn điều kiện \( n \cdot 2^n + 3^n \equiv 0 \pmod{25} \).

Do chu kỳ của \( 3^n \mod 25 \) là 20, các giá trị \( n \) thỏa mãn điều kiện này sẽ là \( n = 11 + 20k \) với \( k \) là số nguyên không âm.

Vậy tất cả các số nguyên dương \( n \) thỏa mãn điều kiện \( n \cdot 2^n + 3^n \) chia hết cho 25 là \( n = 11 + 20k \) với \( k \) là số nguyên không âm.