Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường trung tuyến, đường cao, đường trung trực.

**Câu a: Chứng minh EM // DN**

1. **Xét tam giác vuông ABC tại A:**
- Đường cao AH vuông góc với BC.
- HD vuông góc với AC tại D.
- HE vuông góc với AB tại E.

2. **Xét các tam giác vuông nhỏ hơn:**
- Tam giác AHD vuông tại D.
- Tam giác AHE vuông tại E.

3. **Xét các trung điểm M và N:**
- M là trung điểm của HB.
- N là trung điểm của HC.

4. **Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông AHB, M là trung điểm của HB nên AM là đường trung bình và AM = MB.
- Trong tam giác vuông AHC, N là trung điểm của HC nên AN là đường trung bình và AN = NC.

5. **Xét các tam giác đồng dạng:**
- Tam giác AHE và tam giác AHD có góc A chung và đều vuông tại E và D, nên chúng đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA).

6. **Sử dụng tính chất đồng dạng:**
- Vì tam giác AHE ∼ tam giác AHD, ta có:
\[
\frac{HE}{HD} = \frac{AE}{AD}
\]

7. **Sử dụng tính chất đường trung bình:**
- Trong tam giác vuông AHB, EM là đường trung bình nối từ E đến M.
- Trong tam giác vuông AHC, DN là đường trung bình nối từ D đến N.

8. **Kết luận:**
- Vì EM và DN đều là các đường trung bình trong các tam giác vuông đồng dạng, nên EM // DN.

**Câu b: Chứng minh góc EDN vuông**

1. **Xét tam giác vuông AHE và tam giác vuông AHD:**
- Tam giác AHE vuông tại E.
- Tam giác AHD vuông tại D.

2. **Sử dụng tính chất đồng dạng:**
- Tam giác AHE ∼ tam giác AHD (như đã chứng minh ở câu a).

3. **Xét các đường trung bình:**
- EM là đường trung bình của tam giác vuông AHB.
- DN là đường trung bình của tam giác vuông AHC.

4. **Sử dụng tính chất đường trung bình:**
- EM // DN (như đã chứng minh ở câu a).

5. **Xét tứ giác EDNM:**
- Vì EM // DN và M, N là trung điểm của HB và HC, nên tứ giác EDNM là hình thang.

6. **Xét góc EDN:**
- Trong hình thang EDNM, nếu EM // DN thì góc EDN là góc giữa hai đường trung bình của hai tam giác vuông đồng dạng.
- Do đó, góc EDN là góc vuông.

**Kết luận:**
- Góc EDN vuông.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.