Để rút gọn các biểu thức dưới đây, chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc của căn bậc hai và các phép biến đổi đại số cơ bản. Dưới đây là các bước rút gọn cho từng biểu thức:

1. \(-2 \sqrt{a^2}\) với \(a \geq 0\):
\[
-2 \sqrt{a^2} = -2a
\]

2. \(\sqrt{16a^2 + 4a^2}\) với \(a < 0\):
\[
\sqrt{16a^2 + 4a^2} = \sqrt{20a^2} = \sqrt{4 \cdot 5a^2} = 2\sqrt{5a^2} = 2|a|\sqrt{5}
\]
Vì \(a < 0\), nên \(|a| = -a\):
\[
2|a|\sqrt{5} = 2(-a)\sqrt{5} = -2a\sqrt{5}
\]

3. \(\sqrt{a^4 - 4a^2}\):
\[
\sqrt{a^4 - 4a^2} = \sqrt{a^2(a^2 - 4)} = |a|\sqrt{a^2 - 4}
\]

4. \(\sqrt{a^6 + a^3}\) với \(a < 0\):
\[
\sqrt{a^6 + a^3} = \sqrt{a^3(a^3 + 1)} = |a^{3/2}|\sqrt{a^3 + 1}
\]
Vì \(a < 0\), nên \(|a^{3/2}| = -a^{3/2}\):
\[
-a^{3/2}\sqrt{a^3 + 1}
\]

5. \(\sqrt{(a-4)^2}\) với \(a \geq 4\):
\[
\sqrt{(a-4)^2} = |a-4|
\]
Vì \(a \geq 4\), nên \(|a-4| = a-4\):
\[
a-4
\]

6. \(\sqrt{(5-a)^2} + 4a\) với \(a < 5\):
\[
\sqrt{(5-a)^2} = |5-a|
\]
Vì \(a < 5\), nên \(|5-a| = 5-a\):
\[
5-a + 4a = 5 + 3a
\]

7. \(\sqrt{a^2 + 6a + 9}\) với \(a \geq -3\):
\[
\sqrt{a^2 + 6a + 9} = \sqrt{(a+3)^2} = |a+3|
\]
Vì \(a \geq -3\), nên \(|a+3| = a+3\):
\[
a+3
\]

8. \(\sqrt{4a^2 - 4a + 1} + 2a\) với \(a < \frac{1}{2}\):
\[
\sqrt{4a^2 - 4a + 1} = \sqrt{(2a-1)^2} = |2a-1|
\]
Vì \(a < \frac{1}{2}\), nên \(|2a-1| = 1-2a\):
\[
1-2a + 2a = 1
\]

9. \(\sqrt{(a-1)^2}\) với \(a \geq 1\):
\[
\sqrt{(a-1)^2} = |a-1|
\]
Vì \(a \geq 1\), nên \(|a-1| = a-1\):
\[
a-1
\]

10. \(\sqrt{(2-a)^2} + a\) với \(a < 2\):
\[
\sqrt{(2-a)^2} = |2-a|
\]
Vì \(a < 2\), nên \(|2-a| = 2-a\):
\[
2-a + a = 2
\]

11. \(\sqrt{a^2 + 2a + 1}\) với \(a \geq -1\):
\[
\sqrt{a^2 + 2a + 1} = \sqrt{(a+1)^2} = |a+1|
\]
Vì \(a \geq -1\), nên \(|a+1| = a+1\):
\[
a+1
\]

12. \(\sqrt{9a^2 - 6a + 1} + 3a\) với \(a < \frac{1}{2}\):
\[
\sqrt{9a^2 - 6a + 1} = \sqrt{(3a-1)^2} = |3a-1|
\]
Vì \(a < \frac{1}{2}\), nên \(|3a-1| = 1-3a\):
\[
1-3a + 3a = 1
\]

Hy vọng các bước rút gọn trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách rút gọn các biểu thức này.