Để chứng minh \((\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) = \frac{8}{abc}\), ta bắt đầu từ các điều kiện đã cho: \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\), \(abc = 0\) và \(a + b + c = 0\).

Do \(abc = 0\), ít nhất một trong ba số \(a, b, c\) phải bằng 0. Giả sử \(a = 0\). Khi đó, ta có:

1. \(a + b + c = 0 \Rightarrow 0 + b + c = 0 \Rightarrow b + c = 0 \Rightarrow c = -b\).

2. \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \Rightarrow 0 + b^3 + (-b)^3 = 3 \cdot 0 \Rightarrow b^3 - b^3 = 0\), điều này đúng.

Bây giờ, ta cần chứng minh \((\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) = \frac{8}{abc}\).

Vì \(a = 0\), ta có:

\[
\frac{1}{a} \text{ không xác định}.
\]

Do đó, biểu thức \((\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})(\frac{1}{c} + \frac{1}{a})\) không xác định, và ta cần xem xét lại cách tiếp cận.

Thay vì giả sử \(a = 0\), ta có thể xem xét các trường hợp khác. Tuy nhiên, nếu \(a, b, c\) đều khác 0, điều kiện \(abc = 0\) không thỏa mãn. Do đó, cách tiếp cận này không đúng.

Vậy, với điều kiện \(abc = 0\), ít nhất một trong ba số \(a, b, c\) phải bằng 0, và khi đó biểu thức \((\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})(\frac{1}{c} + \frac{1}{a})\) không xác định.

Do đó, bài toán không có nghĩa trong trường hợp này vì điều kiện \(abc = 0\) làm cho biểu thức chứa phân số với mẫu số bằng 0, dẫn đến không xác định.