Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác và các định lý trong tam giác.

**Bước 1: Tính góc A**

Ta có tổng các góc trong tam giác bằng 180 độ:
\[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ \]

**Bước 2: Tính cạnh AC**

Sử dụng định lý sin trong tam giác ABC:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]
\[ \frac{6}{\sin 80^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} \]

Ta biết:
\[ \sin 80^\circ \approx 0.9848 \]
\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \]

Thay vào công thức:
\[ \frac{6}{0.9848} = \frac{AC}{0.866} \]
\[ AC = \frac{6 \times 0.866}{0.9848} \approx 5.28 \, \text{cm} \]

**Bước 3: Tính chiều cao CH**

Chiều cao CH từ đỉnh C xuống cạnh AB có thể được tính bằng cách sử dụng công thức diện tích tam giác:
\[ \text{Diện tích tam giác} = \frac{1}{2} \times BC \times CH \times \sin A \]

Trước tiên, ta cần tính diện tích tam giác ABC.

**Bước 4: Tính diện tích tam giác ABC**

Sử dụng công thức diện tích tam giác với hai cạnh và góc xen giữa:
\[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times BC \times AC \times \sin B \]
\[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times 6 \times 5.28 \times \sin 60^\circ \]
\[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times 6 \times 5.28 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times 6 \times 5.28 \times 0.866 \]
\[ \text{Diện tích} \approx 13.73 \, \text{cm}^2 \]

**Bước 5: Tính chiều cao CH**

Sử dụng công thức diện tích tam giác với chiều cao:
\[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times BC \times CH \times \sin A \]
\[ 13.73 = \frac{1}{2} \times 6 \times CH \times \sin 80^\circ \]
\[ 13.73 = 3 \times CH \times 0.9848 \]
\[ CH = \frac{13.73}{3 \times 0.9848} \approx 4.65 \, \text{cm} \]

**Kết quả:**

a) Chiều cao CH ≈ 4.65 cm và cạnh AC ≈ 5.28 cm.

b) Diện tích tam giác ABC ≈ 13.73 cm².