Để chứng minh rằng \( P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2 \) chia hết cho \( x^2 - 2 \), ta cần chứng minh rằng \( x^2 - 2 \) là một nhân tử của \( P(x) \). Điều này có nghĩa là \( P(x) \) có thể được viết dưới dạng \( P(x) = (x^2 - 2)Q(x) \) với một đa thức \( Q(x) \).

Trước hết, ta biết rằng \( \sqrt{2} \) là một nghiệm của \( P(x) \). Điều này có nghĩa là \( P(\sqrt{2}) = 0 \).

Do \( P(x) \) có hệ số hữu tỉ và \( \sqrt{2} \) là nghiệm, theo định lý nghiệm hữu tỉ, nghiệm còn lại của \( P(x) \) phải là \( -\sqrt{2} \). Vậy \( P(-\sqrt{2}) = 0 \).

Bây giờ, ta có hai nghiệm của \( P(x) \) là \( \sqrt{2} \) và \( -\sqrt{2} \). Điều này có nghĩa là \( P(x) \) có thể được viết dưới dạng:

\[ P(x) = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - r) \]

với \( r \) là một nghiệm khác của \( P(x) \).

Ta biết rằng:

\[ (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = x^2 - 2 \]

Do đó, ta có thể viết lại \( P(x) \) dưới dạng:

\[ P(x) = (x^2 - 2)(x - r) \]

Bây giờ, ta cần xác định \( r \) và chứng minh rằng \( r \) là một số hữu tỉ.

Ta biết rằng \( P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2 \). Khi thay \( P(x) = (x^2 - 2)(x - r) \) vào, ta có:

\[ (x^2 - 2)(x - r) = x^3 - rx^2 - 2x + 2r \]

So sánh với \( P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2 \), ta có:

\[ x^3 - rx^2 - 2x + 2r = x^3 + ax^2 + bx + 2 \]

Từ đây, ta có các hệ số tương ứng:

1. \( -r = a \)
2. \( -2 = b \)
3. \( 2r = 2 \)

Từ phương trình \( 2r = 2 \), ta có \( r = 1 \).

Vậy \( a = -r = -1 \) và \( b = -2 \).

Do đó, \( P(x) = x^3 - x^2 - 2x + 2 \).

Ta có thể kiểm tra lại:

\[ P(x) = (x^2 - 2)(x - 1) = x^3 - x^2 - 2x + 2 \]

Vậy \( P(x) \) thực sự chia hết cho \( x^2 - 2 \).

Kết luận: \( P(x) \) chia hết cho \( x^2 - 2 \).