Để chứng minh các kết quả đã nêu, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các định lý về góc.

**Chứng minh tam giác \( \triangle BHT \) đồng dạng với tam giác \( \triangle BSC \):**

1. **Xét tam giác \( \triangle BHT \) và tam giác \( \triangle BSC \):**

- Ta có \( \angle BHT \) và \( \angle BSC \) là các góc vuông (do \( AT \perp BS \)).
- Xét góc \( \angle HBT \) và góc \( \angle SBC \):
+ \( \angle HBT \) là góc giữa đường cao \( AH \) và đường thẳng \( BT \).
+ \( \angle SBC \) là góc giữa đường thẳng \( BS \) và cạnh \( BC \) của tam giác vuông \( \triangle ABC \).

- Do \( \angle HBA = \angle SBC \) (cùng phụ với góc \( \angle BAC \) trong tam giác vuông \( \triangle ABC \)).

2. **Kết luận:**

- Ta có \( \angle BHT = \angle BSC = 90^\circ \).
- Và \( \angle HBT = \angle SBC \).

- Theo định lý đồng dạng góc-góc (AA), ta có \( \triangle BHT \sim \triangle BSC \).

**Chứng minh \( \angle THS = \angle TCS \):**

1. **Xét tam giác \( \triangle THS \) và tam giác \( \triangle TCS \):**

- Ta có \( AT \perp BS \), do đó \( \angle ATH = \angle ATC = 90^\circ \).
- Xét góc \( \angle THS \) và góc \( \angle TCS \):
+ \( \angle THS \) là góc giữa đường thẳng \( TH \) và đường thẳng \( HS \).
+ \( \angle TCS \) là góc giữa đường thẳng \( TC \) và đường thẳng \( CS \).

- Do \( \angle ATH = \angle ATC = 90^\circ \), nên \( \angle THS \) và \( \angle TCS \) là các góc đối đỉnh.

2. **Kết luận:**

- Ta có \( \angle THS = \angle TCS \) (do là các góc đối đỉnh).

Như vậy, ta đã chứng minh được hai kết quả yêu cầu:
1. Tam giác \( \triangle BHT \) đồng dạng với tam giác \( \triangle BSC \).
2. \( \angle THS = \angle TCS \).