Để tìm các giá trị \( x \) và \( y \) thuộc tập hợp các số tự nhiên \( \mathbb{N} \) sao cho phương trình \( 2^x + 242 = 3^y \) đúng, ta có thể làm như sau:

1. **Phân tích phương trình:**
\[
2^x + 242 = 3^y
\]

2. **Thử các giá trị nhỏ của \( x \) và \( y \):**

- Với \( x = 1 \):
\[
2^1 + 242 = 2 + 242 = 244
\]
\( 244 \) không phải là lũy thừa của 3.

- Với \( x = 2 \):
\[
2^2 + 242 = 4 + 242 = 246
\]
\( 246 \) không phải là lũy thừa của 3.

- Với \( x = 3 \):
\[
2^3 + 242 = 8 + 242 = 250
\]
\( 250 \) không phải là lũy thừa của 3.

- Với \( x = 4 \):
\[
2^4 + 242 = 16 + 242 = 258
\]
\( 258 \) không phải là lũy thừa của 3.

- Với \( x = 5 \):
\[
2^5 + 242 = 32 + 242 = 274
\]
\( 274 \) không phải là lũy thừa của 3.

- Với \( x = 6 \):
\[
2^6 + 242 = 64 + 242 = 306
\]
\( 306 \) không phải là lũy thừa của 3.

- Với \( x = 7 \):
\[
2^7 + 242 = 128 + 242 = 370
\]
\( 370 \) không phải là lũy thừa của 3.

- Với \( x = 8 \):
\[
2^8 + 242 = 256 + 242 = 498
\]
\( 498 \) không phải là lũy thừa của 3.

- Với \( x = 9 \):
\[
2^9 + 242 = 512 + 242 = 754
\]
\( 754 \) không phải là lũy thừa của 3.

- Với \( x = 10 \):
\[
2^{10} + 242 = 1024 + 242 = 1266
\]
\( 1266 \) không phải là lũy thừa của 3.

3. **Kết luận:**
Sau khi thử các giá trị nhỏ của \( x \), ta thấy không có giá trị nào của \( x \) và \( y \) thuộc tập hợp các số tự nhiên \( \mathbb{N} \) thỏa mãn phương trình \( 2^x + 242 = 3^y \).

Vậy không tồn tại \( x \) và \( y \) thuộc \( \mathbb{N} \) sao cho \( 2^x + 242 = 3^y \).