Gọi \( x \) là số dụng cụ mà xí nghiệp 1 phải làm và \( y \) là số dụng cụ mà xí nghiệp 2 phải làm. Theo đề bài, ta có phương trình tổng số dụng cụ mà hai xí nghiệp phải làm:

\[ x + y = 360 \]

Xí nghiệp 1 vượt mức 12%, tức là xí nghiệp 1 làm được \( x + 0,12x = 1,12x \) dụng cụ.

Xí nghiệp 2 vượt mức 10%, tức là xí nghiệp 2 làm được \( y + 0,10y = 1,10y \) dụng cụ.

Tổng số dụng cụ mà hai xí nghiệp làm thêm là 40 dụng cụ, do đó:

\[ 1,12x + 1,10y = 360 + 40 \]
\[ 1,12x + 1,10y = 400 \]

Ta có hệ phương trình:

1. \( x + y = 360 \)
2. \( 1,12x + 1,10y = 400 \)

Giải hệ phương trình này, trước hết ta nhân phương trình thứ nhất với 1,10:

\[ 1,10x + 1,10y = 1,10 \times 360 \]
\[ 1,10x + 1,10y = 396 \]

Bây giờ ta trừ phương trình này từ phương trình thứ hai:

\[ (1,12x + 1,10y) - (1,10x + 1,10y) = 400 - 396 \]
\[ 0,02x = 4 \]
\[ x = \frac{4}{0,02} \]
\[ x = 200 \]

Thay \( x = 200 \) vào phương trình \( x + y = 360 \):

\[ 200 + y = 360 \]
\[ y = 360 - 200 \]
\[ y = 160 \]

Vậy số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp phải làm là:
- Xí nghiệp 1: 200 dụng cụ
- Xí nghiệp 2: 160 dụng cụ