Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước chứng minh như sau:

**a) Chứng minh: \(\Delta AHB \sim \Delta BCD\)**

1. **Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta BCD\):**

- Ta có \(AH \perp BD\) (giả thiết).
- Góc \(AHB\) là góc vuông.
- Góc \(BCD\) là góc vuông (do ABCD là hình chữ nhật).

2. **Chứng minh các góc tương ứng bằng nhau:**

- Góc \(AHB\) và góc \(BCD\) đều là góc vuông.
- Góc \(BAH\) và góc \(CBD\) là hai góc đối đỉnh, nên bằng nhau.

3. **Kết luận:**

- \(\Delta AHB\) và \(\Delta BCD\) có hai góc tương ứng bằng nhau, nên \(\Delta AHB \sim \Delta BCD\) (theo trường hợp góc - góc).

**b) Chứng minh: \(\frac{AD^2}{DH \cdot DB} = 2\)**

1. **Xét tam giác vuông \(\Delta AHD\) và \(\Delta BHD\):**

- Trong \(\Delta AHD\), ta có \(AD\) là cạnh huyền, \(AH\) là đường cao từ đỉnh vuông \(A\).
- Trong \(\Delta BHD\), ta có \(BD\) là cạnh huyền, \(DH\) là đường cao từ đỉnh vuông \(D\).

2. **Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:**

- Trong \(\Delta AHD\), ta có: \(AD^2 = AH \cdot DH\).
- Trong \(\Delta BHD\), ta có: \(BD^2 = BH \cdot DH\).

3. **Tính toán cụ thể:**

- Ta có \(AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\).
- Ta có \(BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\).

4. **Sử dụng hệ thức lượng:**

- Trong \(\Delta AHD\), ta có: \(AD^2 = AH \cdot DH\).
- Trong \(\Delta BHD\), ta có: \(BD^2 = BH \cdot DH\).

5. **Kết luận:**

- Từ hệ thức lượng, ta có: \(AD^2 = AH \cdot DH\) và \(BD^2 = BH \cdot DH\).
- Do \(AD = BD\), ta có: \(AD^2 = BD^2\).
- Suy ra: \(\frac{AD^2}{DH \cdot DB} = \frac{BD^2}{DH \cdot DB} = 2\).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(\frac{AD^2}{DH \cdot DB} = 2\).