Để tìm các số tự nhiên \( n \) sao cho \(\frac{n-3}{n+8}\) là bình phương của một số hữu tỉ, ta có thể đặt \(\frac{n-3}{n+8} = k^2\), trong đó \( k \) là một số hữu tỉ.

Ta có phương trình:
\[
\frac{n-3}{n+8} = k^2
\]

Giải phương trình này, ta nhân cả hai vế với \( n + 8 \):
\[
n - 3 = k^2 (n + 8)
\]

Ta phân tích phương trình này:
\[
n - 3 = k^2 n + 8k^2
\]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( n \) về một vế:
\[
n - k^2 n = 8k^2 + 3
\]

Rút gọn:
\[
n (1 - k^2) = 8k^2 + 3
\]

Do đó:
\[
n = \frac{8k^2 + 3}{1 - k^2}
\]

Để \( n \) là một số tự nhiên, biểu thức \(\frac{8k^2 + 3}{1 - k^2}\) phải là một số tự nhiên. Điều này có nghĩa là \( 1 - k^2 \) phải là một ước của \( 8k^2 + 3 \).

Xét các giá trị của \( k \) là số hữu tỉ, ta có thể thử một số giá trị đơn giản của \( k \) để tìm \( n \).

1. **Trường hợp \( k = 1 \):**
\[
n = \frac{8(1)^2 + 3}{1 - (1)^2} = \frac{8 + 3}{0} \quad \text{(không xác định)}
\]

2. **Trường hợp \( k = -1 \):**
\[
n = \frac{8(-1)^2 + 3}{1 - (-1)^2} = \frac{8 + 3}{0} \quad \text{(không xác định)}
\]

3. **Trường hợp \( k = \frac{1}{2} \):**
\[
n = \frac{8\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{8 \cdot \frac{1}{4} + 3}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2 + 3}{\frac{3}{4}} = \frac{5}{\frac{3}{4}} = \frac{5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3} \quad \text{(không phải số tự nhiên)}
\]

4. **Trường hợp \( k = \frac{2}{3} \):**
\[
n = \frac{8\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 3}{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{8 \cdot \frac{4}{9} + 3}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{32}{9} + 3}{\frac{5}{9}} = \frac{\frac{32 + 27}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{\frac{59}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{59}{5} \quad \text{(không phải số tự nhiên)}
\]

Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng không có giá trị \( k \) đơn giản nào thỏa mãn điều kiện để \( n \) là một số tự nhiên. Do đó, không có số tự nhiên \( n \) nào thỏa mãn \(\frac{n-3}{n+8}\) là bình phương của một số hữu tỉ.