Để chứng minh rằng \(a^2\) chia cho 7 dư 4 khi \(a\) chia cho 7 dư 5, ta bắt đầu bằng cách biểu diễn \(a\) dưới dạng:

\[ a = 7k + 5 \]

với \(k\) là một số nguyên.

Bây giờ, ta tính \(a^2\):

\[ a^2 = (7k + 5)^2 \]

Khai triển biểu thức trên:

\[ a^2 = (7k + 5)^2 = (7k)^2 + 2 \cdot 7k \cdot 5 + 5^2 \]
\[ a^2 = 49k^2 + 70k + 25 \]

Ta có thể viết lại biểu thức này dưới dạng:

\[ a^2 = 49k^2 + 70k + 25 \]

Chúng ta biết rằng 49 và 70 đều chia hết cho 7, do đó:

\[ 49k^2 \equiv 0 \pmod{7} \]
\[ 70k \equiv 0 \pmod{7} \]

Vì vậy, ta có thể viết lại:

\[ a^2 \equiv 0 + 0 + 25 \pmod{7} \]
\[ a^2 \equiv 25 \pmod{7} \]

Bây giờ, ta tính 25 chia cho 7:

\[ 25 \div 7 = 3 \text{ dư } 4 \]

Do đó:

\[ 25 \equiv 4 \pmod{7} \]

Vậy:

\[ a^2 \equiv 4 \pmod{7} \]

Điều này chứng minh rằng \(a^2\) chia cho 7 dư 4 khi \(a\) chia cho 7 dư 5.