Cho hình thang vuông ABCD, có A = B = 900 và AD = 2BC. Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD). Gọi F là trung điểm của HD, I là trung điểm AH

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

**a) Chứng minh BCFK là hình bình hành.**

Trước tiên, chúng ta cần xác định các điểm và tính chất của chúng.

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- ABCD là hình thang vuông với \( \angle A = \angle B = 90^\circ \).
- AD = 2BC.
- AH vuông góc với BD tại H.
- F là trung điểm của HD.
- I là trung điểm của AH.

2. **Chứng minh BCFK là hình bình hành:**
- Để chứng minh BCFK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

- **Chứng minh BC song song với FK:**
- Vì ABCD là hình thang vuông, nên \( AB \parallel CD \) và \( AB \perp AD \).
- Do đó, \( BC \parallel AD \).
- Vì F là trung điểm của HD và I là trung điểm của AH, nên \( FI \parallel AD \) (đường trung bình của tam giác AHD).
- Do đó, \( FK \parallel AD \) (vì K là điểm đối xứng của F qua I).
- Vậy \( BC \parallel FK \).

- **Chứng minh BCFK có hai cạnh đối bằng nhau:**
- Vì F là trung điểm của HD và I là trung điểm của AH, nên \( FI = \frac{1}{2}AD \).
- Do AD = 2BC, nên \( FI = BC \).
- Vì K là điểm đối xứng của F qua I, nên \( FK = FI = BC \).
- Vậy \( BC = FK \).

- Từ hai điều trên, ta có \( BC \parallel FK \) và \( BC = FK \). Do đó, BCFK là hình bình hành.

**b) Tính góc AFC.**

Để tính góc AFC, ta cần xác định các tọa độ hoặc các tính chất hình học liên quan.

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- \( \angle A = \angle B = 90^\circ \).
- AD = 2BC.
- AH vuông góc với BD tại H.
- F là trung điểm của HD.
- I là trung điểm của AH.

2. **Tính góc AFC:**
- Vì \( \angle A = 90^\circ \) và \( \angle B = 90^\circ \), nên tam giác ABD là tam giác vuông tại A.
- AH là đường cao từ A đến BD, nên \( \angle AHD = 90^\circ \).
- F là trung điểm của HD, nên \( AF \) là đường trung tuyến của tam giác AHD.
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Do đó, \( AF = \frac{1}{2}AD \).
- Vì AD = 2BC, nên \( AF = BC \).

- Xét tam giác AFC:
- \( AF = BC \).
- \( \angle AFC \) là góc giữa hai cạnh bằng nhau trong tam giác vuông.

- Vì tam giác AFC là tam giác vuông tại A và AF = FC, nên tam giác AFC là tam giác vuông cân tại A.
- Do đó, \( \angle AFC = 45^\circ \).

Vậy, góc \( \angle AFC = 45^\circ \).