Chúng ta sẽ giải từng phương trình một để tìm nghiệm nguyên.

### A. Phương trình \( x^2 - xy + y^2 = 2x - y \)

Đầu tiên, ta chuyển tất cả các hạng tử về một phía của phương trình:
\[ x^2 - xy + y^2 - 2x + y = 0 \]

Bây giờ, ta sẽ thử nghiệm các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

1. **Thử \( x = 0 \):**
\[ 0^2 - 0 \cdot y + y^2 - 2 \cdot 0 + y = y^2 + y = 0 \]
\[ y(y + 1) = 0 \]
\[ y = 0 \text{ hoặc } y = -1 \]
Vậy, ta có các nghiệm: \( (0, 0) \) và \( (0, -1) \).

2. **Thử \( y = 0 \):**
\[ x^2 - x \cdot 0 + 0^2 - 2x + 0 = x^2 - 2x = 0 \]
\[ x(x - 2) = 0 \]
\[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \]
Vậy, ta có các nghiệm: \( (0, 0) \) và \( (2, 0) \).

3. **Thử \( y = 1 \):**
\[ x^2 - x \cdot 1 + 1^2 - 2x + 1 = x^2 - x + 1 - 2x + 1 = x^2 - 3x + 2 = 0 \]
\[ (x - 1)(x - 2) = 0 \]
\[ x = 1 \text{ hoặc } x = 2 \]
Vậy, ta có các nghiệm: \( (1, 1) \) và \( (2, 1) \).

4. **Thử \( y = -1 \):**
\[ x^2 - x(-1) + (-1)^2 - 2x - 1 = x^2 + x + 1 - 2x - 1 = x^2 - x = 0 \]
\[ x(x - 1) = 0 \]
\[ x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \]
Vậy, ta có các nghiệm: \( (0, -1) \) và \( (1, -1) \).

Tổng hợp lại, các nghiệm nguyên của phương trình \( x^2 - xy + y^2 = 2x - y \) là:
\[ (0, 0), (0, -1), (2, 0), (1, 1), (2, 1), (1, -1) \]

### B. Phương trình \( x^2 + 2y^2 + 3xy + 2x + 3y + 4 = 0 \)

Phương trình này phức tạp hơn, ta sẽ thử nghiệm các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

1. **Thử \( x = 0 \):**
\[ 0^2 + 2y^2 + 3 \cdot 0 \cdot y + 2 \cdot 0 + 3y + 4 = 2y^2 + 3y + 4 = 0 \]
Phương trình này không có nghiệm nguyên vì \( 2y^2 + 3y + 4 \) không thể bằng 0 với \( y \) nguyên.

2. **Thử \( y = 0 \):**
\[ x^2 + 2 \cdot 0^2 + 3x \cdot 0 + 2x + 3 \cdot 0 + 4 = x^2 + 2x + 4 = 0 \]
Phương trình này cũng không có nghiệm nguyên vì \( x^2 + 2x + 4 \) không thể bằng 0 với \( x \) nguyên.

3. **Thử \( x = -1 \):**
\[ (-1)^2 + 2y^2 + 3(-1)y + 2(-1) + 3y + 4 = 1 + 2y^2 - 3y - 2 + 3y + 4 = 2y^2 + 3 = 0 \]
Phương trình này cũng không có nghiệm nguyên vì \( 2y^2 + 3 \) không thể bằng 0 với \( y \) nguyên.

4. **Thử \( y = -1 \):**
\[ x^2 + 2(-1)^2 + 3x(-1) + 2x + 3(-1) + 4 = x^2 + 2 - 3x + 2x - 3 + 4 = x^2 - x + 3 = 0 \]
Phương trình này cũng không có nghiệm nguyên vì \( x^2 - x + 3 \) không thể bằng 0 với \( x \) nguyên.

Do đó, phương trình \( x^2 + 2y^2 + 3xy + 2x + 3y + 4 = 0 \) không có nghiệm nguyên.

### C. Phương trình \( x^2 - 6xy + 14y^2 - 10y - 16 = 0 \)

Phương trình này cũng phức tạp, ta sẽ thử nghiệm các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

1. **Thử \( x = 0 \):**
\[ 0^2 - 6 \cdot 0 \cdot y + 14y^2 - 10y - 16 = 14y^2 - 10y - 16 = 0 \]
Ta giải phương trình bậc hai:
\[ 14y^2 - 10y - 16 = 0 \]
\[ \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-16) = 100 + 896 = 996 \]
\[ \Delta \text{ không phải là số chính phương, do đó phương trình không có nghiệm nguyên.} \]

2. **Thử \( y = 0 \):**
\[ x^2 - 6x \cdot 0 + 14 \cdot 0^2 - 10 \cdot 0 - 16 = x^2 - 16 = 0 \]
\[ x^2 = 16 \]
\[ x = \pm 4 \]
Vậy, ta có các nghiệm: \( (4, 0) \) và \( (-4, 0) \).

3. **Thử \( y = 1 \):**
\[ x^2 - 6x \cdot 1 + 14 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 - 16 = x^2 - 6x + 14 - 10 - 16 = x^2 - 6x - 12 = 0 \]
\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 36 + 48 = 84 \]
\[ \Delta \text{ không phải là số chính phương, do đó phương trình không có nghiệm nguyên.} \]

4. **Thử \( y = -1 \):**
\[ x^2 - 6x(-1) + 14(-1)^2 - 10(-1) - 16 = x^2 + 6x + 14 + 10 - 16 = x^2 + 6x + 8 = 0 \]
\[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
\[ \Delta \text{ là số chính phương, do đó phương trình có nghiệm nguyên.} \]
\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2} \]
\[ x = -2 \text{ hoặc } x = -4 \]
Vậy, ta có các nghiệm: \( (-2, -1) \) và \( (-4, -1) \).

Tổng hợp lại, các nghiệm nguyên của phương trình \( x^2 - 6xy + 14y^2 - 10y - 16 = 0 \) là:
\[ (4, 0), (-4, 0), (-2, -1), (-4, -1) \]

Tóm lại:
- Phương trình A có các nghiệm nguyên: \( (0, 0), (0, -1), (2, 0), (1, 1), (2, 1), (1, -1) \).
- Phương trình B không có nghiệm nguyên.
- Phương trình C có các nghiệm nguyên: \( (4, 0), (-4, 0), (-2, -1), (-4, -1) \).